II順天堂大学 2017年 数学 第II問解答・解説

に適する解答をマークせよ。ただし，同じ問題で同じ記号の解答欄がある場合は同一の値がはいる。　 点 $R$ を中心とする半径 5 の円および長半径（長軸の長さの半分）が 5，短半径（短軸の長さの半分）が 3 の楕円がある（図I）。円上の点 $P'$，$Q'$ から楕円の長軸へ引いた垂線と楕円との交点をそれぞれ点 $P$，$Q$ とする。$\angle P'RQ'=\alpha$ とすると，図Iの斜線部分の面積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}\alpha$ で与えられる。これをふまえて以下の問題を考えよう。

いま，一辺の長さ 1 の正方形 $ABCD$ に，なめらかで伸びない糸で作られた長さ 5 の輪がかけられている。糸を張りつめた状態で正方形の周りを一周させたときの頂点が動く軌跡は図IIのようになる。

この軌跡上に点 $E,F,G$ を図IIのようにとると，弧 $EF$ は点 $A,D$ を焦点とし，長半径が $\boxed{\text{エ}}$，短半径が $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}$ の楕円の一部であり，弧 $FG$ は点 $B,D$ を焦点とし，長半径が $\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$，短半径が $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}$ の楕円の一部である。ここで辺 $AD$ の中点を $M$ とすると，弧 $EF$ と線分 $ME,MF$ で囲まれる領域の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シス}}}\pi$ となる。　 つぎに，線分 $AC,BD$ の交点を $O$ とし，$O$ を中心とする半径 $\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ の円 $S$ を考える。さらに，円 $S$ 上の点で線分 $BD$ に引いた垂線が点 $F$ を通る点を $F'$ とする（図III）。

このとき $\displaystyle AF=\frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ なので，$\angle F'OA=\beta$ とすると，$\displaystyle \sin\beta=\frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ となる。弧 $FG$ と線分 $OF,OG$ で囲まれる領域の面積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}\beta$ となる。以上より，頂点の軌跡によって囲まれる部分の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi+\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}\beta+\boxed{\text{ノ}}$ となることがわかる。