III順天堂大学 2017年 数学 第III問解答・解説

(1) 任意の実数 $a,b$ に対して $$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)-\frac{f(a)+f(b)}2 =-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{a^2+b^2}{2} =\frac{(a-b)^2}{4}\ge0.$$ よって $f(x)=-x^2$ は全実数の区間で性質(A)を持つ。

(2) $n=2^k$ に対して数学的帰納法で示す。$n=1$ では(B)は等号であり、$n=2$ では(B)は性質(A)そのものである。ある $n=2^k$ で(B)が成り立つと仮定し、区間I内の $2n$ 個の数を二組に分け、それぞれの平均を $$\displaystyle x=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n},\qquad y=\frac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n}$$ とおく。Iは区間なので $x,y$ はともに $I$ に含まれる。仮定より $$\displaystyle f(x)\ge\frac1n\sum\limits _{j=1}^{n}f(a_j),\qquad f(y)\ge\frac1n\sum\limits _{j=n+1}^{2n}f(a_j).$$ 性質(A)を $x,y$ に適用すると $$\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge\frac{f(x)+f(y)}2 \ge\frac1{2n}\sum\limits _{j=1}^{2n}f(a_j).$$ ここで $(x+y)/2=(a_1+\cdots+a_{2n})/(2n)$ だから、これは個数 $2n=2^{k+1}$ の場合の(B)である。よってすべての $n=2^k$ で(B)が成立する。

(3) $0\le x\le1$ を満たす任意の $x$ に対して、性質(A)を $a=x,b=1-x$ に適用すると $$\displaystyle f\left(\frac12\right)\ge\frac{f(x)+f(1-x)}2.$$ 両辺を $0\le x\le1$ の範囲で積分し、右辺の第2項で置換 $u=1-x$ を行う。連続性により積分でき、 $$\displaystyle f\left(\frac12\right) \ge\frac12\left(\int_0^1f(x)\,dx+\int_0^1f(1-x)\,dx\right) =\int_0^1f(x)\,dx.$$ したがって示すべき不等式が成り立つ。