東邦大学 2012年数学第12問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第12問

$0\le t\le\sqrt{2}$ を定義域とする $t$ の関数 $\displaystyle \int_{0}^{3/2}\left|t-\sqrt{2-\frac{4}{3}x}\right|\,dx$ の最小値は $\boxed{\text{ハヒ}}+\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

絶対値の切替点を用いて目的関数をtの多項式に変換し、因数分解で全定義域における最小値を証明する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \min\limits _{0\le t\le\sqrt2}\int_0^{3/2}\left|t-\sqrt{2-\frac43x}\right|dx=\sqrt2-1=-1+\sqrt2,\qquad t_{\min}=1.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$0\le t\le\sqrt2$ で $\displaystyle f(x)=\sqrt{2-\frac43x}$ は $\sqrt2$ から $0$ まで減少する。 $f(x)=t$ となる境界は $\displaystyle c=\frac34(2-t^2),\qquad 0\le c\le\frac32.$ したがって絶対値を外して積分を分けると $\displaystyle g(t)=\int_0^c(f(x)-t)\,dx+\int_c^{3/2}(t-f(x))\,dx.$ 置換 $\displaystyle u=2-\frac43x$ により $\displaystyle \int_0^c f(x)\,dx=\frac34\int_{t^2}^{2}\sqrt u\,du=\sqrt2-\frac{t^3}{2},\qquad \int_c^{3/2} f(x)\,dx=\frac34\int_0^{t^2}\sqrt u\,du=\frac{t^3}{2}$ （ $t\ge0$ を用いた）。ゆえに $\displaystyle g(t)=\sqrt2-t^3+t\left(\frac32-2c\right) =\sqrt2+\frac12t^3-\frac32t.$ $t=1$ との差を因数分解すると $\displaystyle g(t)-g(1)=\frac12(t^3-3t+2)=\frac12(t-1)^2(t+2)\ge0,$ 等号は $t=1$ のときに限る。従って最小値は $g(1)=\sqrt2-1=-1+\sqrt2.$

この問題で使う考え方

置換積分法
不定積分・定積分の性質
三次の乗法・因数分解公式
等式・不等式の証明

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