10東邦大学 2012年 数学 第10問解答・解説

$x=0$で曲線が$x$軸に接するので、$P(0)=d=0$、$P'(0)=c=0$。直線$y=x-9$との差を$$Q(x)=P(x)-(x-9)=x^4+ax^3+bx^2-x+9$$とおく。曲線と直線が異なる二点$x=r,s$で接するなら、$Q(r)=Q'(r)=Q(s)=Q'(s)=0$であり、$r\ne s$。$Q$は最高次係数1の四次式だから$$Q(x)=(x-r)^2(x-s)^2=(x^2-ux+v)^2$$と書ける。ただし$u=r+s$、$v=rs$である。展開して係数を比較すると$$a=-2u,\quad b=u^2+2v,\quad -2uv=-1,\quad v^2=9.$$よって$\displaystyle uv=\frac12$、$v=\pm3$。$v=3$なら$\displaystyle u=\frac16$であり、$\displaystyle x^2-\frac16x+3$の判別式は$\displaystyle \frac1{36}-12<0$となるため、実数$r,s$をもたず不適。$v=-3$なら$\displaystyle u=-\frac16$で、$\displaystyle x^2+\frac16x-3$の判別式は$\displaystyle \frac1{36}+12=\frac{433}{36}>0$だから異なる二実根をもつ。このとき$\displaystyle a=-2u=\frac13$。実際、$\displaystyle b=u^2+2v=-\frac{215}{36}$、$c=d=0$とすれば$$\displaystyle P(x)-(x-9)=\left(x^2+\frac16x-3\right)^2$$となり、二つの異なる実接点が確かに得られる。従って求める値は$\displaystyle a=\frac13$である。