東邦大学 2012年数学第15問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第15問

実数 $x$ に対して $n\le x<n+1$ を満たす整数 $n$ を $[x]$ で表すとき, $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{50}\left[\frac{3}{5}k\right]$ の値は $\boxed{\text{メモ}}$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問15
745.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

求める和は $\displaystyle S=\sum\limits _{k=1}^{50}\left\lfloor\frac{3k}{5}\right\rfloor.$ $k=5q+r$ （ $q=0,1,\ldots,9$ 、 $r=1,2,3,4,5$ ）と分けると $\displaystyle \left\lfloor\frac{3k}{5}\right\rfloor =3q+\left\lfloor\frac{3r}{5}\right\rfloor.$ 各5項の $r$ による部分は $\displaystyle \left\lfloor\frac35\right\rfloor+ \left\lfloor\frac65\right\rfloor+ \left\lfloor\frac95\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{12}5\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{15}5\right\rfloor=0+1+1+2+3=7,$ したがって固定した $q$ の5項の和は $15q+7$ 。よって $\displaystyle S=\sum\limits _{q=0}^{9}(15q+7) =15\cdot\frac{9\cdot10}{2}+70 =\boxed{745}.$

この問題で使う考え方

5周期での剰余分類
等差数列の和

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