東邦大学 2012年数学第9問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第9問

空間において, 2点 $(0,0,0),(1,1,1)$ を通る直線を $l$ , 2点 $(1,0,0),(0,1,0)$ を通る直線を $m$ とする. $l$ 上の点と $m$ 上の点の間の距離の最小値は $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

直線上の点を媒介変数表示し、二点間距離の二乗を平方完成して最小値を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

最小距離 $\displaystyle =\frac{\sqrt6}{6}\quad($ ト $=6,\space{}$ ナ $=6).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

直線 $l$ 上の点を $P=(t,t,t)$ 、直線 $m$ 上の点を $Q=(1-s,s,0)$ とおく。ただし $s,t$ は任意の実数である。二点間の距離の二乗は $PQ^2=(1-s-t)^2+(s-t)^2+t^2=2s^2+3t^2-2s-2t+1.$ 平方完成すると $\displaystyle PQ^2=2\left(s-\frac12\right)^2+3\left(t-\frac13\right)^2+\frac16\ge\frac16.$ 等号は $\displaystyle s=\frac12,t=\frac13$ で成立するので、この値は実際に最小値である。従って最小距離は $\displaystyle PQ_{\min}=\sqrt{\frac16}=\frac{\sqrt6}{6}.$

この問題で使う考え方

座標による距離
ベクトルの成分表示
空間座標と空間ベクトル

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