6東邦大学 2012年 数学 第6問解答・解説

二つの左辺の差をとると $$(2x^2+kx-1)-(2x^2-2x+k+1)=(k+2)(x-1)=0.$$ $k=-2$ のとき二つの方程式は同一の $2x^2-2x-1=0$ となり、判別式は $(-2)^2-4\cdot2\cdot(-1)=12>0$ だから、共通解は二つある。これは条件に合わない。

したがって $k\ne-2$ であり、共通解は $x=1$ でなければならない。第一式に代入して $2+k-1=0$、よって $k=-1$。このとき二式は $$(2x+1)(x-1)=0,\qquad 2x(x-1)=0$$ となり、共通解は $x=1$ だけである。ゆえに $\boxed{k=-1}$。

二つの左辺の差をとると (k+2)x−(k+2)=(k+2)(x−1)=0。k=−2なら二つの方程式は同一の $2x^2-2x-1=0$ となり、判別式12>0なので共通解は2個である。よって条件を満たすには k≠−2 でなければならず、そのとき共通解は x=1 である。x=1を第一式に代入すると k+1=0、したがって k=−1。実際、k=−1のとき二式はそれぞれ (2x+1)(x−1)=0、2x(x−1)=0 となり、共通解はちょうど x=1 の一つだけである。