東邦大学 2012年数学第7問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第7問

2つの実数 $x,y$ が $\displaystyle \frac{1}{8^x}=\frac{1}{27^y}=36$ を満たすとき, $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

指数方程式を対数で解き、対数の積・べきの公式を使って逆数の和を整理する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

セ $=-,\quad$ ソ $=3,\quad$ タ $\displaystyle =2,\quad \frac1x+\frac1y=-\frac32$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

条件から $\displaystyle 8^x=\frac1{36}$ および $\displaystyle 27^y=\frac1{36}$ なので、対数をとると $x\log 8=y\log 27=-\log 36$ 。よって $\displaystyle \frac1x+\frac1y=-\frac{\log8+\log27}{\log36}=-\frac{\log(8\cdot27)}{\log36}=-\frac{\log(6^3)}{\log(6^2)}=-\frac32$ 。したがって $\text{セ}=-,\ \text{ソ}=3,\ \text{タ}=2$ 。

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
対数とその性質

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