8東邦大学 2012年 数学 第8問解答・解説

交点の $x$ 座標は $g_a(x)=x^3+(a-2)x^2+a=0$ の実根である。$g_a^{\prime}(x)=x(3x+2a-4)$。$a\le0$ では、$a<0$ のとき $x=0$ が局所最大値 $g_a(0)=a<0$ で、その後一度増加して正になるため実根は1個だけ。$a=0$ なら $g_0(x)=x^2(x-2)$ で相異なる実根は2個。$a\ge2$ では、$a>2$ のとき $x=0$ の局所最小値が $a>0$ であり、左側に実根が1つだけ、$a=2$ は単調増加で1根。$0<a<2$ では $x=0$ が局所最大値 $a>0$、$\displaystyle x_1=\frac{4-2a}{3}$ が局所最小値となる。$$\displaystyle g_a(x_1)=a-\frac{4(2-a)^3}{27}.$$ 3個の相異なる実根を持つにはこの極小値が負であることが必要十分。$H(a)=4(2-a)^3-27a$ は $0<a<2$ で $H^{\prime}(a)=-12(2-a)^2-27<0$、$\displaystyle H(\frac12)=0$ なので、$H(a)>0$ は $\displaystyle 0<a<\frac12$ と同値。従って範囲は $\displaystyle 0<a<\frac12$。端点では重解が生じるので含まれない。