II横浜市立大学 2018年 数学 第II問解答・解説

$f(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$ とすると $$\displaystyle f'(x)=4x^3-3x^2+2x-1,\qquad f''(x)=12\left(x-\frac14\right)^2+\frac54>0.$$ ゆえに $f'$ は、$x$ が大きくなると必ず大きくなる。さらに $f'(1/2)=-1/4<0$、$f'(3/4)=1/2>0$ だから、連続性と単調性より方程式 $f'(x)=0$ はただ一つの実根 $x_0$ をもち、$1/2<x_0<3/4$。従って(2)では $a=1/2$ が条件を満たす。

平方和に整理すると $$\displaystyle f(x)=\left(x^2-\frac{x}{2}\right)^2+\frac34\left(x-\frac23\right)^2+\frac23\ge\frac23>\frac58.$$ 一方、$f'$ は増加し $f'(x_0)=0$ なので $1/2<x<x_0$ で $f'(x)<0$。平均値の定理から $f(x_0)<f(1/2)=11/16$。以上より $$\displaystyle \frac58<f(x_0)<\frac{11}{16}.$$

$f(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$。$f^{\prime}(x)=4x^3-3x^2+2x-1$、$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12(x-\frac14)^2+\frac54>0$なのでf′のただ一つの零点$x_0$ が $\displaystyle \frac12<x_0<\frac34$の範囲にある。$\displaystyle a=\frac12$を取り、平方和表示で下界$\displaystyle \frac23$、平均値定理で上界$\displaystyle \frac{11}{16}$を示す。