4東京大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) 任意の点 $P=(u,v)$ をとる。傾き $M$ の直線 $$\ell_M:\ y=M(x-u)+v$$ を考え、その交点の $x$ 座標を決める関数を $$G_M(x)=x^3-x-M(x-u)-v$$ とする。$G_M(x)$ は三次関数であり、 $$G_M(u-1)=M+(u-1)^3-(u-1)-v,\qquad G_M(u+1)=-M+(u+1)^3-(u+1)-v.$$ したがって $M$ を十分大きくとれば $G_M(u-1)>0$, $G_M(u+1)<0$ となる。一方、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}G_M(x)=-\infty,\qquad \lim\limits _{x\to+\infty}G_M(x)=+\infty.$$ 連続性と中間値の定理より、$G_M(x)=0$ はそれぞれ $x<u-1$, $u-1<x<u+1$, $x>u+1$ の各範囲に少なくとも1つずつ解をもつ。これらは互いに異なるので、$\ell_M$ は $C$ と相異なる3点で交わる。

(2) 条件を満たす直線は垂直ではないので、$\ell:y=mx+n$ とおく。その交点の $x$ 座標を $\alpha<\beta<\gamma$ とすると、 $$x^3-x-(mx+n)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).$$ 左辺の $x^2$ の係数は0だから、$\alpha+\beta+\gamma=0$。$r=\beta-\alpha>0,\ s=\gamma-\beta>0$ とし、$t=x-\beta$ とおくと $$C\text{の式}-\ell\text{の式}=(t+r)t(t-s).$$ 二つの有界な部分の面積は、それぞれ $$\displaystyle A_1=\int_{-r}^{0}(t+r)t(t-s)\,dt=\frac{r^3(r+2s)}{12}, \qquad A_2=-\int_{0}^{s}(t+r)t(t-s)\,dt=\frac{s^3(s+2r)}{12}.$$ $A_1=A_2$ より、$z=r/s>0$ として $$z^4+2z^3-2z-1=0 \quad\text{すなわち}\quad (z-1)(z+1)^3=0.$$ 従って $r=s$。このとき $\alpha=\beta-r,\ \gamma=\beta+r$ と $\alpha+\beta+\gamma=0$ から $\beta=0$、すなわち交点は $-r,0,r$ である。よって $$x^3-x-(mx+n)=x(x-r)(x+r)=x^3-r^2x$$ となり、$n=0,\ m=r^2-1>-1$。逆に $m>-1$ なら $r=\sqrt{m+1}>0$ とでき、この直線 $y=mx$ は異なる3点で交わり、二つの面積も等しい。

したがって求める点は、傾き $m>-1$ の原点を通る直線上の点全体である。点 $(x,y)$ について $x>0$ なら $y/x>-1$、すなわち $y>-x$、$x<0$ なら $y/x>-1$、すなわち $y<-x$ が必要十分である。$x=0$ でこのような直線上にあるのは原点のみ。ゆえに求める範囲は、原点と次のいずれかの条件を満たす点全体である。 $$x>0,\quad y>-x\qquad\text{または}\qquad x<0,\quad y<-x.$$ 図示では直線 $y=-x$ の原点以外を含めず、各指定半平面を塗る。