6東京大学 2022年 数学 第6問解答・解説

$\vec v_k$ は3周期であり， $$\displaystyle \vec v_0=(1,0),\quad \vec v_1=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad \vec v_2=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ 全投球のうち，裏の回数が $j\pmod3$ である時点で表が出た回数を $A_j$ ($j=0,1,2$) とする。このとき $$\displaystyle \overrightarrow{OX_N} =A_0\vec v_0+A_1\vec v_1+A_2\vec v_2 =\left(A_0-\frac{A_1+A_2}{2},\frac{\sqrt3}{2}(A_1-A_2)\right).$$ したがって $X_N=O$ となる条件は $A_0=A_1=A_2$ であり，表の総数は $r=3s$ でなければならない。

裏がちょうど $t$ 回出る列について，裏が $k$ 回出た状態で投げる表の回数を $h_k$ ($0\le k\le t$) とする。$h_0,\ldots,h_t$ を決めると投球列は一意に決まり，$k$ の各剰余類に属する $h_k$ の和が $s$ となる必要がある。

(1) $N=8$ のとき $r=3s$ は $s=0,1,2$。このとき $t=8-3s=3(2-s)+2$ なので，$k=0,\ldots,t$ には各剰余類ごとに $3-s$ 個の位置がある。1剰余類あたりの分配数は $$\displaystyle \binom{s+(3-s)-1}{(3-s)-1}=\binom{2}{s}.$$ したがって，帰還する投球列の個数は $$\displaystyle \sum\limits _{s=0}^{2}\binom{2}{s}^{3}=1+8+1=10.$$ 各投球列の確率は $2^{-8}$ だから $$\displaystyle \Pr(X_8=O)=\frac{10}{2^8}=\frac{5}{128}.$$

(2) $N=200$，$r=3s$ ($0\le s\le66$) とする。裏の回数は $$t=200-3s=3(66-s)+2$$ であり，$k=0,\ldots,t$ の各剰余類には $67-s$ 個の位置がある。1剰余類に $s$ 個の表を分配する方法は $$\displaystyle \binom{s+(67-s)-1}{(67-s)-1}=\binom{66}{s}$$ 通りなので，帰還する投球列は $\displaystyle \binom{66}{s}^{3}$ 個である。各列の確率は $2^{-200}$ より $$\displaystyle p_{3s}=2^{-200}\binom{66}{s}^{3}.$$ $3\nmid r$ なら $p_r=0$。また $\displaystyle \binom{66}{s}$ は $s=33$ のとき最大なので，$p_r$ は $r=3\cdot33=99$ で最大となる。

裏がk回出た時点で表が出る回数を$h_k$と置くと、h列から投球列は一意に復元できる。帰還条件はkを3で分けた3群のhの和が等しいこと。各群の非負整数分配を数え、最後に中央二項係数が最大であることを使う。