1東京大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$$\begin{aligned} f'(x) &=-\sin x\{\log(\cos x)+1\}+\sin x+\cos x\log(\cos x)\\ &=(\cos x-\sin x)\log(\cos x). \end{aligned}$$ $$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}\text{より} f'(x)<0,\qquad \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}\text{より} f'(x)>0.$$ したがって f は $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{4}$ の範囲で減少し、 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}$ の範囲で増加するので、 最小値は x=$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ でとる。

$$\displaystyle I=\int_0^{\pi/4}\cos t\log(\cos t)\,dt$$ とおき、u=$\sin$ t と置換すると $$\displaystyle I=\frac12\int_0^{1/\sqrt2}\log(1-u^2)\,du.$$ $$\displaystyle \int\log(1-u^2)\,du =-(1-u)\log(1-u)+(1+u)\log(1+u)-2u.$$ $$\displaystyle a=\frac1{\sqrt2},\quad \log(1+a)=\log(1+\sqrt2)-\frac12\log2,\quad \log(1-a)=-\log(1+\sqrt2)-\frac12\log2$$ より $$\displaystyle I=\log(1+\sqrt2)-\frac{1}{2\sqrt2}\log2-\frac1{\sqrt2}.$$ また $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{4}\log\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{1}{2\sqrt2}\log2,\qquad -\cos\frac{\pi}{4}=-\frac1{\sqrt2}.$$ 従って $$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\log(1+\sqrt2)-\frac1{\sqrt2}\log2-\sqrt2.$$