東京大学 2022年数学第3問解答・解説

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1問題

東京大学2022年度第3問

Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2点S(x₁, y₁), T(x₂, y₂)に対し，点Sが点Tから十分離れているとは，|x₁ − x₂| ≧ 1 または |y₁ − y₂| ≧ 1 が成り立つことと定義する。不等式 0 ≦ x ≦ 3, 0 ≦ y ≦ 3 が表す正方形の領域をDとし，その2つの頂点A(3, 0), B(3, 3)を考える。さらに，次の条件(i), (ii)をともに満たす点Pをとる。

(i) 点Pは領域Dの点であり，かつ，放物線 y = x² 上にある。

(ii) 点Pは，3点O, A, Bのいずれからも十分離れている。点Pのx座標をaとする。

(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 次の条件(iii), (iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積 f(a)を求めよ。

(iii) 点Qは領域Dの点である。

(iv) 点Qは，4点O, A, B, Pのいずれからも十分離れている。

(3) aは(1)で求めた範囲を動くとする。(2)の f(a)を最小にするaの値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$1\leq a\leq\sqrt{3}$
(2)
$1\leq a\leq\sqrt{2}:\ f(a)=a^3-2a^2-a+5;\quad \sqrt{2}\leq a\leq\sqrt{3}:\ f(a)=2a^2+a-3$
(3)
$a=\sqrt{2}$ (minimum area $1+\sqrt{2}$ )

3解答

解答を見る途中式つきの解答

十分離れていない範囲は各点を中心とする一辺2の正方形として表し、正方形DからO,A,B,Pの近傍の和集合を引く。aの範囲でP近傍のD外へのはみ出しと角との重なりが変化するため、 $a=\sqrt{2}$ で場合分けし面積を計算。最後に各式の増減を微分して最小点を決定する。

この問題で使う考え方

座標と絶対値条件による領域表示
正方形の重なり面積の加減
場合分けした多項式の微分と増減

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