島根大学 2022年数学第1問解答・解説

数と式二次関数図形と方程式微分・積分の考え

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1問題

島根大学2022年度第1問

不等式 $\left|x^{2}-2\right|+\left|y\right|\leq2$ で表される領域を $D$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 領域 $D$ のうち、 $\lvert x\rvert\geq\sqrt{2}$ かつ $y\geq0$ をみたす $(x,y)$ の範囲を図示せよ。

(2) 領域 $D$ のうち、 $y\geq0$ をみたす $(x,y)$ の範囲を図示せよ。

(3) 領域 $D$ の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$x\in[-2,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,2]$ , $0\le y\le4-x^2$
(2)
$-2\le x\le2$ , $0\le y\le Y(x)$ ; $Y(x)=\begin{cases}x^2,&|x|\le\sqrt2,\\4-x^2,&\sqrt2\le|x|\le2.\end{cases}$
(3)
$\displaystyle \frac{32(2-\sqrt2)}{3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1),(2) $|x^2−2|+|y|\le2$ から $|x|\le2$ および $|y|\le2−|x^2−2|$ 。上側境界を $Y(x)=\begin{cases}x^2,&|x|\le\sqrt2,\\4−x^2,&\sqrt2\le|x|\le2\end{cases}$ とすれば、Dは $-Y(x)\le y\le Y(x)$ 。従って(1)は $-2\le x\le-\sqrt2\quad\text{または}\quad\sqrt2\le x\le2$ で $0\le y\le4−x^2$ 。(2)は $-2\le x\le2$ で $0\le y\le Y(x)$ 。

(3) y軸・x軸対称性により $\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Area}(D)&=4\left(\int_0^{\sqrt2}x^2\,dx+\int_{\sqrt2}^{2}(4−x^2)\,dx\right)\\ &=4\left(\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{16−10\sqrt2}{3}\right)=\frac{32(2−\sqrt2)}{3}. \end{aligned}$

まず|y|の上限をxの範囲ごとに整理する。x²=2で式が切り替わり、x方向の端は±2。指定された領域をこの上側境界から図示し、最後は左右対称・上下対称を使って正のx側の積分を4倍する。

この問題で使う考え方

絶対値の領域分割
対称性
面積積分

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