3島根大学 2022年 数学 第3問解答・解説

サイコロを3回投げた順序つきの結果 $(p,q,r)$ は $6^3=216$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。

(1) $x\to-\infty$ で、根号の中は正である。有理化すると $$\displaystyle \sqrt{x^2+2px+1}+x =\frac{2px+1}{\sqrt{x^2+2px+1}-x} =\frac{2p+1/x}{-\sqrt{1+2p/x+1/x^2}-1} \longrightarrow -p.$$ 従って問題の極限は $q-p$ であり、これが $r$ に等しい条件は $q=p+r$。目の範囲から $p+r\le6$ なので、条件を満たす順序つき組 $(p,r)$ は $$\displaystyle \sum\limits _{p=1}^{5}(6-p)=5+4+3+2+1=15$$ 通り。$q$ は各組ごとに一意だから、確率は $$\displaystyle \frac{15}{216}=\boxed{\frac{5}{72}}.$$

(2) 定積分は $$\displaystyle \int_0^r(px^2-4x+q)\,dx=\frac{pr^3}{3}-2r^2+qr.$$ $r>0$ なので、これが負であることは $$pr^2-6r+3q<0$$ と同値である。$r$ ごとにこの厳密不等式を満たす $(p,q)$ を数えると $$\begin{array}{c|l|c} r& (p,q)&\text{個数}\\ \hline 1&(1,1),(2,1)&2\\ 2&(1,1),(1,2),(2,1)&3\\ 3&(1,1),(1,2)&2\\ 4&(1,1),(1,2)&2\\ 5&(1,1)&1\\ 6&\text{なし}&0 \end{array}$$ となる。合計は $2+3+2+2+1=10$ 通り。従って確率は $$\displaystyle \frac{10}{216}=\boxed{\frac{5}{108}}.$$