1東海大学 2024年 1日目 数学 第1問解答・解説

(1) 被積分関数の差は $$(3x+2)^2-(3x-2)^2=4(3x)(2)=24x$$ である。したがって $$\displaystyle \int_0^{2/3}(3x+2)^2\,dx-\int_0^{2/3}(3x-2)^2\,dx =24\int_0^{2/3}x\,dx=12\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{16}{3}.$$ よって、アは $\displaystyle \frac{16}{3}$ である。

(2) 分子を展開すると $$\displaystyle \begin{aligned} &\frac12(1+h)^3-\frac52(1+h)^2+\frac{16}{5}(1+h)-\frac65\\ &=\frac12(1+3h+3h^2+h^3)-\frac52(1+2h+h^2)+\frac{16}{5}(1+h)-\frac65\\ &=-\frac{3}{10}h-h^2+\frac12h^3. \end{aligned}$$ よって、$h\ne0$ で分子を $h$ で割った式は $\displaystyle -\frac{3}{10}-h+\frac12h^2$ となるから、極限は $\displaystyle -\frac{3}{10}$ である。

(3) まず、最初の二直線の交点を求める。第一式を3倍して第二式を引くと $10y=2$ より $\displaystyle y=\frac15$、したがって $\displaystyle x=\frac35$ である。第三直線がこの点を通る条件は $$\displaystyle \frac35m+\frac15n=1,\qquad 3m+n=5$$ である。したがって $n=5-3m$ であり、$1\le m+n\le10$ は $1\le5-2m\le10$ と同値である。$m$ は整数なので $-2\le m\le2$、該当する組は $$(m,n)=(-2,11),\ (-1,8),\ (0,5),\ (1,2),\ (2,-1)$$ の5組である。よって、ウは5である。

(4) $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$ では $\sin\theta+\cos\theta>0$ であり、 $$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta=1+\sin2\theta\le2$$ だから最大値は $\sqrt2$ 以下である。$\displaystyle \theta=\frac\pi4$ で等号となる。また $\sin\theta\cos\theta\ge0$ より $(\sin\theta+\cos\theta)^2\ge1$ であり、端点 $\displaystyle \theta=0,\frac\pi2$ で値1をとる。よって最大値は $\sqrt2$、最小値は1である。

(5) 赤玉を $r$ 個とする。戻さずに2個取り出してともに赤玉となる確率は $$\displaystyle \frac{r}{11}\cdot\frac{r-1}{10}=\frac{28}{55}$$ である。これを整理すると $r(r-1)=56$、すなわち $(r-8)(r+7)=0$ となる。$r$ は0以上11以下の整数なので $r=8$ である。

(6) $H=A+t(B-A)=(1-t,2t,0)$ とおくと、$B-A=(-1,2,0)$ である。$CH\perp AB$ より $$(C-H)\cdot(B-A)=(t-1,-2t,3)\cdot(-1,2,0)=1-5t=0,$$ したがって $\displaystyle t=\frac15$、$\displaystyle H=(\frac45,\frac25,0)$ となる。よって $$\displaystyle OH=\sqrt{\left(\frac45\right)^2+\left(\frac25\right)^2}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad OC=3.$$ $OH$ は $xy$ 平面上、$OC$ は $z$ 軸上にあるので $OH\perp OC$ である。直角三角形 $OHC$ において、$\theta=\angle OHC$ だから $$\displaystyle \tan\theta=\frac{OC}{OH}=\frac{3}{2/\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{2}.$$

(7) $\vec u=\vec a+3\vec b$、$\vec v=\vec a-4\vec b$ とおくと、$|\vec u|=|\vec v|=1$ である。また $$\displaystyle \vec b=\frac{\vec u-\vec v}{7},\qquad \vec a=\frac{4\vec u+3\vec v}{7},\qquad \vec a+\vec b=\frac{5\vec u+2\vec v}{7}.$$ $\vec u,\vec v$ のなす角を $\phi$ とすれば $$\displaystyle |\vec a+\vec b|^2=\frac{25|\vec u|^2+4|\vec v|^2+20\vec u\cdot\vec v}{49}=\frac{29+20\cos\phi}{49}.$$ $-1\le\cos\phi\le1$ より $\displaystyle \frac{9}{49}\le|\vec a+\vec b|^2\le1$ である。上端は $\vec u=\vec v$、下端は $\vec u=-\vec v$ のときに実現する。これらの単位ベクトルを選んだときも上の逆変換で条件を満たす $\vec a,\vec b$ が得られる。したがって最大値は1、最小値は $\displaystyle \frac37$ である。