2東海大学 2024年 1日目 数学 第2問解答・解説

(1) $x=0$ のとき、表2の3年分の資産は $9,15,9$（万円）なので $$\displaystyle f(0)=\frac{9+15+9}{3}=11.$$ $x=1$ のときは $21,9,6$（万円）で、その平均は $12$ である。よって分散は $$\displaystyle g(1)=\frac{(21-12)^2+(9-12)^2+(6-12)^2}{3} =\frac{81+9+36}{3}=42.$$

(2) Aのデータの平均は $11$、Bのデータの平均は $12$ である。各年の偏差はそれぞれ $$(-2,4,-2),\qquad (9,-3,-6).$$ 従って偏差積の和は $-18$、偏差平方和はAについて $24$、Bについて $126$ である。相関係数は $$\displaystyle \frac{-18}{\sqrt{24\cdot126}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}.$$

(3) 表2の資産は $9+12x,\ 15-6x,\ 9-3x$ なので $$\displaystyle f(x)=\frac{(9+12x)+(15-6x)+(9-3x)}3=11+x.$$ これは $0\leq x\leq1$ で増加するから、最大となるのは $x=1$ のときで、最大値は $12$ である。

(4) 平均 $f(x)=11+x$ からの偏差は $$-2+11x,\qquad 4-7x,\qquad -2-4x$$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} g(x)&=\frac{(-2+11x)^2+(4-7x)^2+(-2-4x)^2}{3}\\ &=62x^2-28x+8\\ &=62\left(x-\frac7{31}\right)^2+\frac{150}{31}. \end{aligned}$$ $0\le7/31\le1$ であるから、$g(x)$ が最小となるのは $x=7/31$ のときである。

(5) $$h(x)=(11+x)^2-a(62x^2-28x+8) =(1-62a)x^2+(22+28a)x+121-8a.$$ $a\geq1/10$ より $1-62a<0$ である。$0\leq x\leq1$ に対し $$h(1)-h(x)=(1-x)\{(1-62a)(1+x)+22+28a\}.$$ 中括弧は $x$ の減少関数なので、その区間での最小値は $x=1$ のときの $$2(1-62a)+22+28a=24-96a$$ である。よって $h(1)\geq h(x)$ が$0\le x\le1$ を満たすすべての $x$ で成り立つための必要十分条件は $24-96a\geq0$、すなわち $a\leq1/4$ である。これと仮定 $a\geq1/10$ を合わせると $$\displaystyle \frac1{10}\leq a\leq\frac14.$$