3東海大学 2024年 1日目 数学 第3問解答・解説

(1) 等差数列の初項を $a_1$、公差を $d$ とする。和の公式より $$\displaystyle \frac52(2a_1+4d)=100,\qquad \frac{10}{2}(2a_1+9d)=25.$$ すなわち $a_1+2d=20$、$2a_1+9d=5$ である。これを解くと $d=-7$、$a_1=34$ となる。従って $$a_n=34-7(n-1)=41-7n.$$ 初項から第 $n$ 項までの和は $$\displaystyle S_n=\frac n2\{2\cdot34+(n-1)(-7)\}=\frac{n(75-7n)}2.$$

(2) 定義から $$\displaystyle b_n=b_1\prod\limits _{k=2}^{n}\frac{b_k}{b_{k-1}} =2^{a_1}2^{a_2}\cdots2^{a_n}=2^{S_n}.$$ よって $$\displaystyle b_3=2^{S_3}=2^{\frac{3(75-21)}2}=2^{81}.$$

(3) 底 $2$ は1より大きいから、$b_n<1$ は $S_n<0$ と同値である。$n$ は正の整数なので $$\displaystyle S_n=\frac{n(75-7n)}2<0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad n>\frac{75}{7}.$$ 従って条件を満たす最小の自然数は $n=11$ である（$S_{10}=25>0$、$S_{11}=-11<0$）。

(4) $b_n=2^{S_n}$ は $S_n$ が最大のとき最大となる。隣り合う部分和の差は $$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=34-7n.$$ これは $n=1,2,3,4$ では正、$n\geq5$ では負だから、$S_n$ は $n=5$ で最大となる。そのとき $S_5=100$、従って最大値は $2^{100}$ である。

与えられた評価から $$30.1<100\log_{10}2<30.2.$$ また $\log_{10}2>0.301$ より $30.2<30+\log_{10}2$ である。常用対数の単調性から $$10^{30}<2^{100}<10^{30+\log_{10}2}=2\cdot10^{30}.$$ したがって最大値は31桁で、最高位に現れる数字は1である。