6新潟大学 2021年 数学 第6問解答・解説

・ $t=x/(1+a)>0$ とおく。このとき $$\displaystyle F(t)=\log(1+t)-t+\frac{t^2}{2},\qquad G(t)=t-\log(1+t)$$ とすれば、$F(0)=G(0)=0$ であり、$t>0$ に対して $$\displaystyle F'(t)=\frac{t^2}{1+t}>0,\qquad G'(t)=\frac{t}{1+t}>0.$$ したがって $F(t)>0,\ G(t)>0$、すなわち $$\displaystyle t-\frac{t^2}{2}<\log(1+t)<t.$$ $t=x/(1+a)$ を代入すれば示すべき不等式を得る。

・ $t_k=k/\{n^2(1+a)\}\ (1\le k\le n)$ とおくと、 $$\displaystyle \log I_n(a)=\sum\limits _{k=1}^n\log(1+t_k).$$ (1)より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\left(t_k-\frac{t_k^2}{2}\right) <\log I_n(a)<\sum\limits _{k=1}^n t_k.$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n t_k=\frac{n+1}{2n(1+a)},\qquad \sum\limits _{k=1}^n\frac{t_k^2}{2} =\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3(1+a)^2}.$$ 左辺・右辺はいずれも $n\to\infty$ で $1/\{2(1+a)\}$ に収束するから、はさみうちにより $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\log I_n(a)=\frac{1}{2(1+a)}.$$

・ 組合せの積表示から $$\displaystyle \frac{{}_{3n^2+n}C_n}{{}_{2n^2+n}C_n} =\prod\limits _{k=1}^n\frac{3n^2+k}{2n^2+k} =\left(\frac32\right)^n \prod\limits _{k=1}^n\frac{1+k/(3n^2)}{1+k/(2n^2)}.$$ よって求める数列を $P_n$ とすると $$\displaystyle P_n=\prod\limits _{k=1}^n\frac{1+u_k}{1+v_k},\qquad u_k=\frac{k}{3n^2},\quad v_k=\frac{k}{2n^2}.$$ $0<u_k<v_k$ であり、(1)を $a=0$ として両方に用いると $$\displaystyle u_k-v_k-\frac{u_k^2}{2} <\log(1+u_k)-\log(1+v_k) <u_k-v_k+\frac{v_k^2}{2}.$$ これを $k=1,\ldots,n$ で加え、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k=n(n+1)/2$, $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ を用いれば $$\displaystyle -\frac{n+1}{12n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{108n^3} <\log P_n< -\frac{n+1}{12n}+\frac{(n+1)(2n+1)}{48n^3}.$$ 両端はともに $-1/12$ に収束するので、$\log P_n\to-1/12$。指数関数の連続性より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P_n=e^{-1/12}.$$