4新潟大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分より $$\displaystyle \int_0^{2\pi}x\cos x\,dx=[x\sin x+\cos x]_0^{2\pi}=0,\qquad \int_0^{2\pi}x\sin x\,dx=[-x\cos x+\sin x]_0^{2\pi}=-2\pi.$$

(2) さらに部分積分して $$\displaystyle \int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x,\quad \int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{2\pi}x^2\cos x\,dx=4\pi,\qquad \int_0^{2\pi}x^2\sin x\,dx=-4\pi^2.$$

(3) 積和公式と(1)(2)を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{2\pi}f(x)\cos x\,dx&=4\pi a+\pi+\int_0^{2\pi}\{\cos(3x/2)+\cos(x/2)\}\,dx=4\pi a+\pi,\\ \int_0^{2\pi}f(x)\sin x\,dx&=-4\pi^2a-2\pi b+\int_0^{2\pi}\{\sin(3x/2)+\sin(x/2)\}\,dx\\ &=-4\pi^2a-2\pi b+\frac{16}{3}. \end{aligned}$$ 右辺の条件と比較して $$\displaystyle 4\pi a+\pi=4+\pi,\qquad -4\pi^2a-2\pi b+\frac{16}{3}=\frac43(4+\pi),$$ ゆえに $a=1/\pi,\ b=-8/3$。

(4) このとき $$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{\pi}-\frac83x+\cos x+2\cos\frac{x}{2}=\frac1\pi\left(x-\frac{4\pi}{3}\right)^2-\frac{16\pi}{9}+2\left(\cos\frac{x}{2}+\frac12\right)^2-\frac32,$$ ここでは $\cos x=2\cos^2(x/2)-1$ を用いた。二つの平方項は非負であり、$x=4\pi/3$ では両方が同時に0になる。したがって大域的最小値は $-16\pi/9-3/2$、そのとき $x=4\pi/3$。