5新潟大学 2021年 数学 第5問解答・解説

各点は単位円上にあり、隣り合う点の偏角差はそれぞれ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ である。偏角差 $\delta$ が $0<\delta<2\pi$ のとき $$\displaystyle |z'-z|=|e^{i\delta}-1|=\sqrt{(\cos\delta-1)^2+\sin^2\delta}=2\sin\frac{\delta}{2}.$$ ここでは各角差が正で、仮定より全体も $2\pi$ 未満なので、半角の正弦は正である。

(1) 角差は $\theta_1$ だから $|z_2-z_1|=2\sin(\theta_1/2)$。

(2) $z_1$ から $z_3,z_4$ までの角差はそれぞれ $\theta_1+\theta_2$ と $\theta_1+\theta_2+\theta_3$ である。したがって $$\displaystyle |z_3-z_1|=2\sin\frac{\theta_1+\theta_2}{2},\qquad |z_4-z_1|=2\sin\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2}.$$

(3) $A=\theta_1/2$, $B=\theta_2/2$, $C=\theta_3/2$ とおく。$A,B,C>0$ かつ $A+B+C<\pi$ である。弦長を $$a=|z_2-z_1|=2\sin A,\quad b=|z_3-z_2|=2\sin B,\quad c=|z_4-z_3|=2\sin C,$$ $$d=|z_3-z_1|=2\sin(A+B),\quad e=|z_4-z_2|=2\sin(B+C),\quad f=|z_4-z_1|=2\sin(A+B+C)$$ と書く。加法定理を用いると $$\begin{aligned} \sin A\sin(A+B+C)+\sin B\sin C &=\sin(A+B)\{\sin A\cos C+\cos A\sin C\}\\ &=\sin(A+B)\sin(A+C). \end{aligned}$$ この式で $A$ と $C$ を交換すれば $$\sin C\sin(A+B+C)+\sin B\sin A=\sin(B+C)\sin(A+C).$$ よって、正の共通因子 $\sin(A+C)$ を約分して $$\displaystyle \frac{fa+bc}{ab+cf}=\frac{\sin(A+B)}{\sin(B+C)}=\frac{d}{e}.$$ 分母は正なので、これが求める等式である。