1愛媛大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 1+$\sqrt{3}$i=2$\displaystyle \left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ であるから，ド・モアブルの定理により

$$\displaystyle (1+\sqrt{3}i)^5=2^5\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)=32\left(\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)=16-16\sqrt3\,i.$$

（検算：$(1+\sqrt3i)^2=-2+2\sqrt3i$，$(1+\sqrt3i)^4=(-2+2\sqrt3i)^2=-8-8\sqrt3i$，$(1+\sqrt3i)^5=(1+\sqrt3i)(-8-8\sqrt3i)=16-16\sqrt3i$ と一致する。）

また $(\sqrt3i)^2=-3$ より $(\sqrt3i)^4=9$，$(\sqrt3i)^5=9\sqrt3\,i$ は純虚数である。よって

$$1+(\sqrt3i)^5=1+9\sqrt3\,i.$$

求める式は

$$(1+\sqrt3i)^5-\{1+(\sqrt3i)^5\}=(16-16\sqrt3i)-(1+9\sqrt3i)=15-25\sqrt3\,i$$

であるから，実部は $\boxed{15}$ である。

(2) $\displaystyle 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\alpha>0$ であり，$\displaystyle \sin\alpha=\dfrac13$ から

$$\displaystyle \cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac19}=\dfrac{2\sqrt2}{3}.$$

$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ より $\cos\beta<0$ であり，$\displaystyle \sin\beta=\dfrac15$ から

$$\displaystyle \cos\beta=-\sqrt{1-\dfrac{1}{25}}=-\dfrac{2\sqrt6}{5}.$$

加法定理により

$$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{2\sqrt2}{3}\left(-\dfrac{2\sqrt6}{5}\right)-\dfrac13\cdot\dfrac15=-\dfrac{4\sqrt{12}}{15}-\dfrac{1}{15}=-\dfrac{8\sqrt3+1}{15}.$$

（検算：数値では $\cos\alpha\approx0.9428,\ \cos\beta\approx-0.9798$ より $\cos(\alpha+\beta)\approx-0.9905$，一方 $\displaystyle -\dfrac{1+8\sqrt3}{15}\approx-0.9904$ で一致する。）

よって $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{1+8\sqrt3}{15}$ である。

(3) $\overrightarrow{BA}=A-B=(a,-3,0)$，$\overrightarrow{BC}=C-B=(0,-3,4)$ である。

$$|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{a^2+9},\qquad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{9+16}=5,\qquad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0+9+0=9.$$

$\angle ABC=60^\circ$ であるから

$$\displaystyle \cos60^\circ=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{9}{5\sqrt{a^2+9}}=\dfrac12.$$

これより $5\sqrt{a^2+9}=18$，すなわち $\displaystyle \sqrt{a^2+9}=\dfrac{18}{5}$ で，両辺を2乗して

$$\displaystyle a^2+9=\dfrac{324}{25}\ \quad\text{ならば}\quad\ a^2=\dfrac{324-225}{25}=\dfrac{99}{25}.$$

$a>0$ より $\displaystyle a=\sqrt{\dfrac{99}{25}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{5}$ である。

（検算：$\displaystyle a=\dfrac{3\sqrt{11}}{5}$ のとき $\displaystyle a^2+9=\dfrac{99}{25}+\dfrac{225}{25}=\dfrac{324}{25}$，$\displaystyle \sqrt{a^2+9}=\dfrac{18}{5}$ となり，$\displaystyle \cos\angle ABC=\dfrac{9}{5\cdot(18/5)}=\dfrac{9}{18}=\dfrac12$ で $60^\circ$ に一致する。）

よって $\displaystyle a=\dfrac{3\sqrt{11}}{5}$ である。

(4) $y=x^3-x^2-2x=x(x-2)(x+1)$ であるから，曲線と $x$ 軸との交点は $x=-1,0,2$ である。

$-1<x<0$ では（例えば $\displaystyle x=-\dfrac12$ で $\displaystyle y=\dfrac58>0$ ）曲線は $x$ 軸の上側にあり，$0<x<2$ では（例えば $x=1$ で $y=-2<0$ ）曲線は $x$ 軸の下側にある。

$\displaystyle F(x)=\displaystyle\int(x^3-x^2-2x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2$ とおくと

$$\displaystyle F(-1)=\dfrac14+\dfrac13-1=-\dfrac{5}{12},\quad F(0)=0,\quad F(2)=4-\dfrac83-4=-\dfrac83.$$

よって求める面積は

$$\displaystyle \int_{-1}^{0}(x^3-x^2-2x)\,dx+\int_{0}^{2}\{-(x^3-x^2-2x)\}\,dx=\{F(0)-F(-1)\}-\{F(2)-F(0)\}=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{5}{12}+\dfrac{32}{12}=\dfrac{37}{12}$$

である。（検算：$F'(x)=x^3-x^2-2x$ で原関数として正しく，符号確認も上の代入値と整合する。）

よって面積の和は $\displaystyle \dfrac{37}{12}$ である。

(5) 正方形 $ABCD$ で，$A$ から見て隣接する頂点は $B,D$（距離1，遷移確率各 $\displaystyle \dfrac25$），対角の頂点は $C$（距離$\sqrt2$，遷移確率 $\displaystyle \dfrac15$）である。他の頂点についても同様に，各頂点からは隣接2頂点へ確率 $\displaystyle \dfrac25$ ずつ，対角の頂点へ確率 $\displaystyle \dfrac15$ で移動する。

出発点 $A$ に関する対称性から，$n$ 回移動後の分布を $a_n=P(A\text{にいる})$，$s_n=P(B\text{にいる})=P(D\text{にいる})$（$B,D$は対称），$c_n=P(C\text{にいる})$ とおく（$a_n+2s_n+c_n=1$）。1回の遷移で

$$\displaystyle a_{n+1}=\dfrac45 s_n+\dfrac15 c_n,\qquad c_{n+1}=\dfrac15 a_n+\dfrac45 s_n,\qquad s_{n+1}=\dfrac25 a_n+\dfrac15 s_n+\dfrac25 c_n$$

が成り立つ。初期値 $a_0=1,\ s_0=0,\ c_0=0$ から

$$\displaystyle a_1=0,\quad s_1=\dfrac25,\quad c_1=\dfrac15;\qquad a_2=\dfrac{9}{25},\quad s_2=\dfrac{4}{25},\quad c_2=\dfrac{8}{25}$$

（$a_2$ は $A\to B\to A,\ A\to D\to A,\ A\to C\to A$ の3通りを直接数えても $\displaystyle \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac25+\dfrac25\cdot\dfrac25+\dfrac15\cdot\dfrac15=\dfrac{9}{25}$ となり一致する）。

さらに

$$\displaystyle a_3=\dfrac45 s_2+\dfrac15 c_2=\dfrac45\cdot\dfrac{4}{25}+\dfrac15\cdot\dfrac{8}{25}=\dfrac{16}{125}+\dfrac{8}{125}=\dfrac{24}{125}.$$

（検算：同時に $\displaystyle c_3=\dfrac15 a_2+\dfrac45 s_2=\dfrac{9}{125}+\dfrac{16}{125}=\dfrac15$，$\displaystyle s_3=\dfrac25 a_2+\dfrac15 s_2+\dfrac25 c_2=\dfrac{18}{125}+\dfrac{4}{125}+\dfrac{16}{125}=\dfrac{38}{125}$ を求めると，$\displaystyle a_3+2s_3+c_3=\dfrac{24+76+25}{125}=1$ となり確率の総和と整合する。）

よって，3回の移動でちょうど $A$ に戻る確率は $\displaystyle \dfrac{24}{125}$ である。