1北里大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $\vec a=(2,-1,1)$, $\vec b=(-1,2,2)$ とすると $$\vec a\cdot\vec b=-2,\qquad |\vec a|=\sqrt6,\qquad |\vec b|=3.$$ したがって $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =-\frac{2}{3\sqrt6}.$$ $\overrightarrow{OC}=(x,y,z)$ とおく。 $\vec a,\vec b$ の両方に垂直である条件は $$2x-y+z=0,\qquad -x+2y+2z=0.$$ これを解くと $y=5x/4,\ z=-3x/4$ となる。また $|\overrightarrow{OC}|=5\sqrt2$ より $$\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{25}{8}x^2=50.$$ $x>0$ だから $x=4$ であり、$C=(4,5,-3)$ である。 $AP:PB=1:2$ より $$\displaystyle P=\frac{2A+B}{3}=\left(1,0,\frac43\right).$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(1,0,\frac43\right),\qquad \overrightarrow{CP}=\left(-3,-5,\frac{13}{3}\right).$$ 内積と大きさは $$\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{CP}=\frac{25}{9},\qquad |\overrightarrow{OP}|=\frac53,\qquad |\overrightarrow{CP}|=\frac{5\sqrt{19}}3.$$ よって $\cos\beta=1/\sqrt{19}>0$ であり、$\beta$ は鋭角である。三角比の関係から $$\displaystyle \tan\beta=\frac{\sqrt{1-\cos^2\beta}}{\cos\beta}=3\sqrt2.$$

(2) $\alpha=2+i$ の偏角を $\theta$ とする。$\beta$ は上半平面にあり、$\arg\beta=\theta+45^\circ$ である。また、三角形 $O\alpha\beta$ の残る角は $75^\circ$ なので、正弦定理から $$\displaystyle \frac{|\beta|}{|\alpha|}=\frac{\sin60^\circ}{\sin75^\circ} =\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}.$$ $\alpha$ を $90^\circ$ 回転すると $\gamma=-1+2i$ となる。さらに $$\displaystyle \cos(\theta+45^\circ)=\frac1{\sqrt{10}},\qquad \sin(\theta+45^\circ)=\frac3{\sqrt{10}},$$ ゆえに $$\displaystyle \beta=\frac{|\beta|}{\sqrt{10}}(1+3i) =\frac{3-\sqrt3}{2}(1+3i).$$ $k=(3-\sqrt3)/2$ とおけば $\beta=k(1+3i)$。原点を通る円の方程式を $x^2+y^2+Dx+Ey=0$ とする。これが $\alpha=(2,1)$ と $\beta=(k,3k)$ を通る条件は $$5+2D+E=0,\qquad 10k+D+3E=0.$$ これを解くと $D=-\sqrt3,\ E=2\sqrt3-5$。$w=t\gamma=t(-1+2i)$ ($0\leq t\leq1$) を代入すると $$5t^2+(5\sqrt3-10)t=0.$$ $t=0$ は $w=O$ となり四角形を作らないので、$t=2-\sqrt3$ を採る。 よって $|w|=\sqrt5(2-\sqrt3)$。

(3) 全選び方は $\displaystyle \binom{16}{4}=1820$ 通りである。同じユニフォームの4人を選ぶ方法は4通りだから $$\displaystyle (\text{ク})=\frac4{1820}=\frac1{455}.$$ 各ユニフォーム色の4人は赤・白・青・黄の帽子を1人ずつかぶるので、ユニフォームと帽子が各人で同色となる選手は全体で4人である。その4人全員を選ぶ場合だけだから $$\displaystyle (\text{ケ})=\frac1{1820}.$$ ユニフォームの色がちょうど2色となるには、色の組を $\displaystyle \binom42$ 通り選ぶ。固定した2色について、人数の内訳は $1+3,2+2,3+1$ であり、選び方は $$\displaystyle \binom41\binom43+\binom42^2+\binom43\binom41=68$$ 通り。したがって $$\displaystyle (\text{コ})=\frac{\binom42\cdot68}{1820}=\frac{102}{455}.$$

(4) 部分分数分解より $$\displaystyle \frac1{4-t^2}=\frac14\left(\frac1{2-t}+\frac1{2+t}\right),$$ したがって $$\displaystyle I_1=\frac14\log\left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C.$$ また、$u=4-t^2$ と見れば $$\displaystyle I_2=-\frac12\log|4-t^2|+C.$$ $0\leq x\leq1$ では $4-t^2>0$ であり、絶対値の符号が変わる点 $t=x$ で積分を分けると $$\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{x-t}{4-t^2}\,dt+ \int_x^1\frac{t-x}{4-t^2}\,dt.$$ 積分区間の端で被積分関数は $0$ となるので、微分して $$\displaystyle f'(x)=\int_0^x\frac{dt}{4-t^2} -\int_x^1\frac{dt}{4-t^2} =\frac12\log\frac{2+x}{2-x}-\frac14\log3.$$ これが $0$ となる条件は $$\displaystyle \frac{2+x}{2-x}=\sqrt3,$$ ゆえに $x=4-2\sqrt3$。また $$\displaystyle f''(x)=\frac{2}{4-x^2}>0\qquad(0\leq x\leq1)$$ だから、この点で極小値をとる。