2北里大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) 与えられた式を変形すると $$A(A+2E)=A^2+2A=3E,\qquad (A+2E)A=3E.$$ したがって $X=(A+2E)/3$ とおけば $AX=XA=E$ である。よって $A$ は逆行列をもち、 $$\displaystyle A^{-1}=\frac{A+2E}{3}.$$

(2) $B=A^{-1}$ とおく。(1)より $BA=AB=E$ なので、もとの等式の両辺に左から $B^2$ を掛ければ $$\displaystyle E+2B-3B^2=O,\qquad B^2=\frac23B+\frac13E.$$ 定義から $B=a_1B+b_1E$ で $a_1=1,\ b_1=0$。また $$\displaystyle B^2=\frac23B+\frac13E$$ より $a_2=2/3$。さらに $$\displaystyle B^3=B\left(\frac23B+\frac13E\right) =\frac23B^2+\frac13B =\frac79B+\frac29E$$ であるから $a_3=7/9$。

(3) $B^2=(2/3)B+(1/3)E$ の両辺に $B^n$ を掛けると $$\displaystyle B^{n+2}=\frac23B^{n+1}+\frac13B^n.$$ $B$ は単位行列の実数倍ではない。実際、もし $B=cE$ なら $c\ne0$ で $A=c^{-1}E$ となり、仮定に反する。したがって $B,E$ は一次独立であり、係数を比較して $$\displaystyle a_{n+2}=\frac23a_{n+1}+\frac13a_n.$$ これを $n-1$ に適用すると、$n\ge2$ で $$\displaystyle a_{n+1}-a_n =\frac23a_n+\frac13a_{n-1}-a_n =-\frac13(a_n-a_{n-1}).$$ また $a_2-a_1=-1/3\ne0$ だから、この関係を繰り返すとすべての分母 $a_n-a_{n-1}$ は $0$ でない。よって $$\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}}=-\frac13.$$

(4) $d_n=a_n-a_{n-1}$ とすると、(3)より $d_{n+1}=-d_n/3$、かつ $d_2=-1/3$ である。したがって $$\displaystyle d_n=\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$ ゆえに $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=2}^{n}d_k =1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(-\frac13\right)^k =\frac34+\frac14\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$