3岡山大学 2006年 数学 第3問解答・解説

$A_n=\begin{pmatrix}1&b_n\\0&d_n\end{pmatrix},\quad n\ge1$ とおく。　 $q_n=2+(-1)^n$ とすると、与えられた関係を成分ごとに計算して　 $\begin{aligned}\begin{pmatrix}1&b_n\\0&d_n\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&3\\0&q_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&b_{n-1}\\0&d_{n-1}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&b_{n-1}+3d_{n-1}\\0&q_nd_{n-1}\end{pmatrix},\quad n\ge2\end{aligned}$.

したがって　 $b_1=2,\quad d_1=3,\quad b_n=b_{n-1}+3d_{n-1},\quad d_n=q_nd_{n-1}$.　 $q_n=3$ (n が偶数),　 $q_n=1$ (n が奇数) であるから、　 $d_{2k-1}=3^k$,　 $d_{2k}=3^{k+1}$　($k\ge1$).　 (1)　 $b_2=2+3d_1=11,\quad b_3=b_2+3d_2=11+27=38$.　 (2)　 $\displaystyle b_{2n+1}=b_1+3\sum\limits _{j=1}^{2n}d_j=2+3\sum\limits _{k=1}^{n}(d_{2k-1}+d_{2k})=2+12\sum\limits _{k=1}^{n}3^k$.　 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}3^k=\frac{3^{n+1}-3}{3-1}$ より、　 $b_{2n+1}=2+6(3^{n+1}-3)=2\cdot3^{n+2}-16$.　 (3)　 $\displaystyle b_{2n}=b_1+3\sum\limits _{j=1}^{2n-1}d_j=2+3\left(4\sum\limits _{k=1}^{n-1}3^k+3^n\right)=2+3\left(2(3^n-3)+3^n\right)=3^{n+2}-16$.

$\displaystyle \text{よって } n\ge1\text{ で }\quad\frac{b_{2n+1}}{b_{2n}}=\frac{2\cdot3^{n+2}-16}{3^{n+2}-16}=2+\frac{16}{3^{n+2}-16}\longrightarrow2\quad(n\to\infty).$