1岡山大学 2006年 数学 第1問解答・解説

(1)　 C_1 の接線の傾きは $\displaystyle y'=-\frac{1}{x^2}$ より、点 P で $\displaystyle -\frac{1}{p^2}$ である。 したがって法線の傾きは p^2 となるから、その方程式は $$\displaystyle y-\frac{1}{p}=p^2(x-p).$$

(2)　 C_1 上の点を (x,1/x) (x$\ne$0) とし、Q(q,-q) からの距離を d とする。 $$\displaystyle d^2=(x-q)^2+\left(\frac{1}{x}+q\right)^2.$$ ここで t=x-$\displaystyle \frac{1}{x}$ とおくと、 $$\displaystyle d^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2-2q\left(x-\frac{1}{x}\right)+2q^2=(t-q)^2+q^2+2.$$ 任意の実数 t に対し、t=x-1/x は x^2-tx-1=0 と同値である。 この二次方程式の判別式は t^2+4>0、解の積は -1 なので、正負1個ずつの実数解をもつ。 よって各 t は双曲線上の異なる2点に対応する。 円との共有点は d^2=r^2 を満たす点であるから、対応する t は $$(t-q)^2=r^2-(q^2+2)$$ を満たす。r^2<q^2+2 なら共有点は0個、r^2=q^2+2 なら t=q の1値に対応する2個、 r^2>q^2+2 なら t が2値となり共有点は4個である。 したがって、ちょうど2個の共有点をもつための半径は $$r=\sqrt{q^2+2}.$$