名古屋大学 2003年数学第2問解答・解説

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1問題

名古屋大学2003年度第2問

O を原点とする座標平面上の、半径 1 の円周 A: x² + y² = 1 と直線 ℓ: y = d (0 < d < 1) との交点を P, Q とする。円周 A 上の点 R (x, y) は y > d の範囲を動く。線分 OR と線分 PQ の交点を S、点 R から線分 PQ へ下ろした垂線の足を T とするとき、線分 ST の長さの最大値を d を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\left(1-d^{2/3}\right)^{3/2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}R&=(x,y),\quad d<y\le 1,\quad x^2=1-y^2,\\ S&=\left(\frac{dx}{y},d\right),\quad T=(x,d),\\ ST&=|x|\left(1-\frac{d}{y}\right),\\ g(y):=ST^2&=\frac{(1-y^2)(y-d)^2}{y^2},\\ g'(y)&=\frac{2(y-d)(d-y^3)}{y^3}.\end{aligned}$ $d<d^{1/3}<1$ より、g は $d<y<d^{1/3}$ で増加し $d^{1/3}<y<1$ で減少する。 $\displaystyle \begin{aligned}g(d^{1/3})&=(1-d^{2/3})^3,\\ ST_{\max}&=\sqrt{g(d^{1/3})}=\left(1-d^{2/3}\right)^{3/2}.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

円の方程式
直線の方程式
座標による距離
積の微分
商の微分
合成関数の微分

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