3名古屋大学 2003年 数学 第3問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】さいころは、各目が等確率で出る公平な六面体さいころとします。

サイコロの各回で3の倍数が出る確率は $1/3$、それ以外は $2/3$ であり、各回は独立である。したがって $0\le k\le n$ で $\displaystyle P_n(k)=\binom nk(1/3)^k(2/3)^{n-k}$。$0\le k\le n-1$ について、$$\displaystyle \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{1/3}{2/3}=\frac{n-k}{2(k+1)}.$$ (1) の答えである。$$\displaystyle \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}\begin{cases}>1,&3k<n-2,\\=1,&3k=n-2,\\<1,&3k>n-2.\end{cases}$$ よって確率列は比が1以上の間は増加し、その後減少する。比が1となる場合は隣り合う2項が等しく、指定に従い大きい方の $k$ を選ぶので、$\displaystyle N(n)=\left\lfloor\frac{n+1}{3}\right\rfloor$。 $n$ を3で割った余りで分ける。$n=3q$ ($q\ge1$) なら $N(n)/n=1/3$。$n=3q+1$ ($q\ge1$) なら $N(n)/n=q/(3q+1)\ge1/4$ で、等号は $q=1$、すなわち $n=4$ のとき。$n=3q+2$ ($q\ge0$) なら $N(n)/n=(q+1)/(3q+2)>1/3$。したがって $n\ge2$ 全体での最小値は $n=4$ のときの $1/4$。 最後に $\displaystyle \frac{n-2}{3}<\left\lfloor\frac{n+1}{3}\right\rfloor\le\frac{n+1}{3}$ だから、$n$ で割ってはさみうちの原理を用いると $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}N(n)/n=1/3$。