17自治医科大学 2013年 数学 第17問解答・解説

$$\displaystyle \text{1回の抽出ごとにカードを箱へ戻すので、各回は独立である。1回で赤が出る確率は }6/8=3/4\text{、白が出る確率は }2/8=1/4\text{。} \text{赤が8回以上出るのは赤が8回、9回、10回出る場合だから、} p={10\choose8}\left(\frac34\right)^8\left(\frac14\right)^2+{10\choose9}\left(\frac34\right)^9\left(\frac14\right)+\left(\frac34\right)^{10} =\frac{45\cdot3^8+10\cdot3^9+3^{10}}{4^{10}} =\frac{84\cdot3^8}{4^{10}} =\frac{7\cdot3^9}{4^9} =\frac{7\cdot3^9}{2^{18}}. \text{同様に白が8回以上出る確率は} q={10\choose8}\left(\frac14\right)^8\left(\frac34\right)^2+{10\choose9}\left(\frac14\right)^9\left(\frac34\right)+\left(\frac14\right)^{10} =\frac{45\cdot3^2+10\cdot3+1}{4^{10}} =\frac{436}{4^{10}} =\frac{109}{4^9} =\frac{109}{2^{18}}. \text{よって求める値は} \frac{109p}{7q}\cdot3^{-8} =\frac{109}{7}\cdot\frac{7\cdot3^9}{109}\cdot3^{-8} =3. \text{選択肢の対応はタ}=3\text{ なので、解答はタである。}$$