自治医科大学 2013年数学第3問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第3問

$47^{100}$ は168桁の整数である。 $47^{17}$ の桁数を $(20+n)$ で表すとき, $n$ の値を求めよ。ただし, $n$ は自然数とする。　選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.　ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

既知の桁数を10のべきの不等式に直し、指数の単調性で目的のべきの桁数を挟んだ。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$n=9\quad($ ワ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

168桁であることから $10^{167}\le 47^{100}<10^{168}.$ 両辺を正の $17/100$ 乗すると $10^{167\cdot17/100}\le47^{17}<10^{168\cdot17/100}, \quad\text{すなわち}\quad 10^{28.39}\le47^{17}<10^{28.56}.$ したがって $10^{28}<47^{17}<10^{29}$ であり、 $47^{17}$ は29桁である。これが $20+n$ 桁だから $20+n=29$ 、よって $n=9$ 。選択肢はワである。

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則

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