8自治医科大学 2013年 数学 第8問解答・解説

曲線を区間ごとに書くと $$y=\begin{cases} x^2-4x-9&(x\le-3\text{ または }x\ge3),\\ 13-(x+2)^2&(-3\le x\le3). \end{cases}$$ 左側の外側部分 $x\le-3$ は値域 $y\ge12$、右側 $x\ge3$ は $y\ge-12$ をそれぞれ一度ずつ取る。中央部分は $x=-2$ で最大値13を取り、両端では $y(-3)=12,\ y(3)=-12$ である。 $12<k<13$ のとき、中央部分の水平線との交点は $$x=-2\pm\sqrt{13-k}$$ の2点で、どちらも $-3<x<3$ の範囲内にある。これに左右の外側部分の交点が各1点加わり、計4点となる。$k=12$ では中央と左側が $x=-3$ で重なり、$k=13$ では中央部分の交点が頂点1点に重なる。範囲外では交点が4点にならない。よって $m=12,\ M=13$ であり、$M-m=1$。選択肢はカである。