16自治医科大学 2013年 数学 第16問解答・解説

円と $x$ 軸との交点は $x^2-15x+50=0$ の解 $5,10$ なので $S=(5,0), R=(10,0)$ である。直線 $y=mx$ と円との交点の $x$ 座標 $p,q$ は $$(1+m^2)x^2-(15+10m)x+50=0$$ の2根だから $$\displaystyle p+q=\sigma=\frac{15+10m}{1+m^2},\qquad pq=\frac{50}{1+m^2}.$$ 根の関係を使うと $$QR^2=(q-10)^2+m^2q^2=(10m-5)q+50, \quad PS^2=(p-5)^2+m^2p^2=(5+10m)p-25.$$ $QR=2PS$ を2乗して整理すると $$(2m-1)q-(4+8m)p+30=0.$$ $q=\sigma-p$ を代入して $$\displaystyle p=\frac{(2m-1)\sigma+30}{10m+3} =\frac{5(10m^2+4m+3)}{(10m+3)(1+m^2)}.$$ この式と $pq=50/(1+m^2)$、$q=\sigma-p$ を合わせて整理すると $$\displaystyle \frac{-500m^3(5m-12)}{(10m+3)^2(1+m^2)}=0.$$ $m>0$ なので $m=12/5$。このとき $p=25/13,\ q=50/13$ となり、$q>p$ も満たす。よって $$\displaystyle \frac{13mp}{12} =\frac{13\cdot(12/5)\cdot(25/13)}{12}=5.$$ 選択肢はハである。