自治医科大学 2013年数学第11問解答・解説

二次関数

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1問題

自治医科大学2013年度第11問

$x^{2}-4xy+5y^{2}+6x-14y+15$ （ $x,y$ は実数）の最小値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

線形置換で二次式を平方の和に直し、最小値と等号条件を確認した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \min=5\quad($ ハ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$u=x-2y$ とおくと $x=u+2y$ であり、 $x^2-4xy+5y^2+6x-14y+15 =u^2+y^2+6u-2y+15 =(u+3)^2+(y-1)^2+5.$ 平方の和は0以上であり、 $u=-3,\ y=1$ 、すなわち $x=-1$ のとき0となる。したがって最小値は5である。選択肢はハである。

この問題で使う考え方

二次関数の最大・最小

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