23自治医科大学 2013年 数学 第23問解答・解説

底面の正三角形の一辺を $a$、三角柱の高さを $h$ とする。上下底面の辺は計6本、側辺は3本なので $$\displaystyle 6a+3h=9,\qquad h=3-2a,\qquad 0<a<\frac32.$$ 体積は $$\displaystyle V=\frac{\sqrt3}{4}a^2h =\frac{\sqrt3}{4}a^2(3-2a).$$ その導関数は $\displaystyle V'(a)=\frac{3\sqrt3}{2}a(1-a)$ であり、$V$ は $0<a<1$ で増加し $1<a<3/2$ で減少する。従って最大は $a=1,\ h=1$ で、 $$\displaystyle M=\frac{\sqrt3}{4},\qquad \frac{12}{\sqrt3}M=3.$$ 選択肢はタである。