自治医科大学 2013年数学第20問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第20問

放物線 $y=x^{2}-6x+5$ と直線 $y=k$ （ $-4<k<0$ , $k$ は実数）との2つの異なる交点を $A,B$ とする。 $A,B$ と点 $C(3,0)$ で作られる三角形ABCの面積の最大値を $M$ とするとき, $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}M$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

水平弦の長さと高さで面積を表し、変数の範囲を確認して微分で最大化した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{3\sqrt3}{4}M=4\quad($ ナ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

放物線は $y=(x-3)^2-4$ である。 $y=k$ との交点は $x=3\pm\sqrt{k+4}$ なので、底辺 $AB$ の長さは $2\sqrt{k+4}$ 。点 $C=(3,0)$ から直線 $y=k$ までの距離は $-k$ である。 $u=\sqrt{k+4}$ とおけば $0<u<2$ かつ $\displaystyle [\triangle ABC]=\frac12(2u)(4-u^2)=4u-u^3.$ 導関数は $4-3u^2$ であり、 $u=2/\sqrt3$ で最大となる。このとき $\displaystyle M=4\frac2{\sqrt3}-\left(\frac2{\sqrt3}\right)^3 =\frac{16}{3\sqrt3}.$ 従って $(3\sqrt3/4)M=4$ 。選択肢はナである。

この問題で使う考え方

二次関数のグラフと頂点
多項式の導関数
極大・極小

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