自治医科大学 2013年数学第15問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第15問

円 $C:x^{2}+y^{2}-4x-5=0$ , 直線 $L:y=2x+k$ について考える（ $k$ は正の実数定数）。円 $C$ と直線 $L$ は, 異なる2点 $P,Q$ で交わる。線分 $PQ$ の長さが4となるとき, $k$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

弦の垂直二等分線と円の中心を結ぶ直角三角形、および点と直線の距離を使った。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$k=1\quad($ カ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

円の中心は $O=(2,0)$ 、半径は3である。直線 $y=2x+k$ を $-2x+y-k=0$ と書くと、中心から直線までの距離 $d$ は $\displaystyle d=\frac{|-4-k|}{\sqrt5}=\frac{|k+4|}{\sqrt5}.$ 弦の長さが4なので、中心から弦への垂線は弦を二等分し、半弦長は2である。直角三角形から $d^2+2^2=3^2$ 、従って $d=\sqrt5$ 。よって $|k+4|=5$ 、すなわち $k=1$ または $-9$ 。 $k>0$ より $k=1$ 。選択肢はカである。

この問題で使う考え方

円の方程式
座標による距離

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