4長崎大学 2014年 数学 第4問解答・解説

・ 直線の式から $x=k-2y$ として、これを円の式に代入すると $$5y^2-4ky+k^2-1=0$$ を得る。異なる2点で交わる条件は、この二次方程式が異なる2実根をもつことだから、判別式について $$(-4k)^2-4\cdot5(k^2-1)=4(5-k^2)>0.$$ よって $-\sqrt5<k<\sqrt5$。

・ 交点を $P=(x_1,y_1),\ Q=(x_2,y_2)$ とする。同じ直線上にあるので $$x_1-x_2=-2(y_1-y_2).$$ $P\ne Q$ より $y_1-y_2\ne0$。また両点は単位円上にあるから $$(x_1-x_2)(x_1+x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0.$$ 上の差の関係を代入して $y_1+y_2=2(x_1+x_2)$。したがって中点 $M$ は $M_y=2M_x$ を満たす。 弦 $PQ$ の方向は $(-2,1)$ に平行であり、その垂直二等分線は $M$ を通り $(1,2)$ に平行である。これは直線 $y=2x$ そのものなので、$P,Q$ を通る円の中心は $y=2x$ 上にある。

・ 中心を $C=(a,2a)$、交点の一方を $P=(x,y)$ とすると、$x^2+y^2=1$ および $x+2y=k$ より $$CP^2=(x-a)^2+(y-2a)^2 =1-2a(x+2y)+5a^2 =5a^2-2ak+1.$$ ゆえに $r^2=5a^2-2ak+1$。

・ (2)より、$P,Q,R$ を通る円の中心を $C=(u,2u)$ とおく。$R=(2,1)$ は $x+2y=4$ 上にあり、$k<\sqrt5<4$ だから $R$ は弦 $PQ$ 上にない。よって3点は一直線上になく、この円は一意に定まる。(3)より $CP^2=5u^2-2uk+1$ であり、また $$CR^2=(u-2)^2+(2u-1)^2=5u^2-8u+5.$$ $CP=CR$ として整理すると $u=2/(4-k)$。$-\sqrt5<k<\sqrt5$ では $4-k>0$。$k$ が増えると分母は正のまま減るため $u$ は増加する。端点は含まれないので $$\displaystyle \frac{2}{4+\sqrt5}<u<\frac{2}{4-\sqrt5}.$$ これは求める中心の $x$ 座標の範囲である。