6長崎大学 2014年 数学 第6問解答・解説

(1) $y=\log x$ の導関数は $1/x$ であるから、点 $P(t,\log t)$ における接線は $$\displaystyle l:\ y-\log t=\frac{x-t}{t},\qquad y=\frac{x}{t}+\log t-1.$$

(2) $x=0$ とすると $Q=(0,\log t-1)$。　 $y=0$ とすると $$x=t(1-\log t),\qquad R=(t(1-\log t),0).$$ $1<t<e$ より $0<\log t<1$ なので、$Q$ は $x$ 軸より下、$R$ は正の $x$ 軸上にある。

(3) $L=\log t$、$r=t(1-L)$ とおく。$r'(t)=-\log t<0$、かつ $r(1)=1$、$r(e)=0$ だから、$0<r<1$。したがって $D_1$ は底辺 $r$、高さ $1-L$ の三角形であり、 $$\displaystyle S_1(t)=\frac12t(1-L)^2.$$ 曲線 $C$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。接線と曲線の差を $$\displaystyle g(x)=\frac{x}{t}+L-1-\log x$$ とおくと、$g(t)=0$、$g'(x)=1/t-1/x<0$（$1\le x<t$）より $g(x)>0$（$1\le x<t$）。よって $D_2$ の面積は、接線と $x$ 軸で囲まれる三角形から、$1\le x\le t$ の曲線と $x$ 軸の間の面積を引けばよい。三角形の底辺は $t-r=tL$、高さは $L$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} S_2(t)&=\frac12(t-r)L-\int_1^t\log x\,dx\\ &=\frac12tL^2-(tL-t+1)\\ &=\frac12tL^2-tL+t-1. \end{aligned}$$

(4) $S=S_1+S_2$ を整理すると $$\displaystyle S(t)=t\left((\log t)^2-2\log t+\frac32\right)-1, \quad S'(t)=(\log t)^2-\frac12.$$ $1<t<e$ では $0<\log t<1$。したがって $S'(t)<0$ は $1<t<e^{1/\sqrt2}$、$S'(t)>0$ は $e^{1/\sqrt2}<t<e$ で成り立つ。よって最小値をとるのは $t=e^{1/\sqrt2}$ のときで、その値は $$S\!\left(e^{1/\sqrt2}\right)=(2-\sqrt2)e^{1/\sqrt2}-1.$$