8長崎大学 2014年 数学 第8問解答・解説

(1) 接点を $x=p$ とすると、関数値と導関数がそれぞれ一致する。 $$\displaystyle -\frac12\sin p=-\frac12\sin\frac p2,\qquad \frac12\cos p=\cos\frac p2+c.$$ 第1式より $\sin p=\sin(p/2)$ である。$0<p\le\pi$ だから、倍角の公式を用いると $2\sin(p/2)\cos(p/2)=\sin(p/2)$ より $\cos(p/2)=1/2$、したがって $p=2\pi/3$ である。これを第2式に代入して $-1/4=1/2+c$ を得るから、$c=-3/4$、$q=f(p)=-1/4$ である。 また、$t=\cos(x/2)$ とおくと $0\le t\le1$ であり、$\cos x=2t^2-1$ より $$\displaystyle g(x)-f(x)=t-\frac34-\frac12(2t^2-1)=-\left(t-\frac12\right)^2\le0.$$ 等号は $t=1/2$、すなわち $x=2\pi/3$ のときに限る。よって区間全体で $f(x)\ge g(x)$ であり、この接点以外では $f(x)>g(x)$ である。

(2) $0\le x\le p$ の縦幅は $f(x)-g(x)=\left(\cos(x/2)-1/2\right)^2$ である。これを $y$ 軸のまわりに回転するとき、半径 $x$、高さ $f(x)-g(x)$ の円筒殻を考えれば、体積は $$\displaystyle V=2\pi\int_0^{2\pi/3}x\{f(x)-g(x)\}\,dx=2\pi\int_0^{2\pi/3}x\left(\frac12\cos x-\cos\frac x2+\frac34\right)dx.$$ 部分積分により $\displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$、$\displaystyle \int x\cos(x/2)\,dx=2x\sin(x/2)+4\cos(x/2)$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{2\pi/3}x\left(\frac12\cos x-\cos\frac x2+\frac34\right)dx&=\frac12\left[ x\sin x+\cos x\right]_0^{2\pi/3}-\left[2x\sin\frac x2+4\cos\frac x2\right]_0^{2\pi/3}+\left[\frac{3x^2}{8}\right]_0^{2\pi/3}\\&=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\sqrt3\pi}{2}+\frac54. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle V=\dfrac{\pi^3}{3}-\sqrt3\pi^2+\dfrac{5\pi}{2}$ である。