5北海道大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) $\displaystyle I_k=\int_0^{\pi/2}\sin^k\theta\,d\theta$ とおく。部分積分の端点項は0であり $$\displaystyle I_{n+1}=n\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}\theta(1-\sin^2\theta)\,d\theta=n(I_{n-1}-I_{n+1}).$$ したがって $I_{n+1}=nI_{n-1}/(n+1)$。 (2) $g(\theta)=a\sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta$ とおくと $$\displaystyle f(x)=x\int_0^xg(\theta)d\theta-\int_0^x\theta g(\theta)d\theta,\qquad f'(x)=\int_0^xg(\theta)d\theta.$$ ゆえに $f'(\pi/2)=0$ は $aI_{n+1}=I_{n-1}$ と同値で、$I_{n-1}>0$ より $a=1+1/n$。$a>3/2$ と $n\ge1$ から $n=1,a=2$。 (3) このとき $g(\theta)=-\cos2\theta$ なので $f'(x)=-\sin2x/2$。$f(0)=0$ より $f(x)=(\cos2x-1)/4$、したがって $f(\pi/2)=-1/2$。