北海道大学 2015年数学第4問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

北海道大学2015年度第4問

初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。

(i) まず同時に2個の玉を取り出す。

(ii) その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉2個を袋に入れる。

(iii) 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ, 1回の試行を終える。 n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を $X_{n}$ とする。

(1) $X_{1}=3$ となる確率を求めよ。

(2) $X_{2}=3$ となる確率を求めよ。

(3) $X_{2}=3$ であったとき, $X_{1}=3$ である条件付き確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
2/3
(2)
7/15
(3)
4/7

3解答

解答を見る途中式つきの解答

同色を引いたときは引いた玉を戻してから白玉を1個足すので赤玉数は変わらない。異色なら赤玉1個を取り出して赤玉2個を加えるので赤玉数は1増える。各回の総数は5個、6個と1個ずつ増える。

初回の6通りの組合せ中、赤白の異色は4通りだから $\displaystyle P(X_1=3)=\frac23$ 、 $\displaystyle P(X_1=2)=\frac13$ 。 $X_1=2$ なら袋は赤2・白3で、2回目に異色となる確率は $\displaystyle \frac35$ 。 $X_1=3$ なら赤3・白2で、同色となる確率は $\displaystyle \frac25$ であり、その場合に限り赤玉数は3のまま。よって全確率から $\displaystyle P(X_2=3)=\frac13\cdot\frac35+\frac23\cdot\frac25=\frac7{15}$ 。

この問題で使う考え方

組合せによる同時抽出の数え上げ
場合分けと全確率
条件付き確率

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