6東邦大学 2015年 数学 第6問解答・解説

原文ラベル6（小問ラベルなし） 原文には小問番号がなく、大問「6」の一つの解答単位に二つの確率を答える形式である。$D$ を罹患、$H$ を非罹患、$+$ を陽性判定とする。有病率より $$\displaystyle P(D)=\frac1{14},\qquad P(H)=\frac{13}{14}.$$ 偽陰性率が $1/4$ なので $$\displaystyle P(+\mid D)=1-\frac14=\frac34,$$ また偽陽性率より $P(+\mid H)=1/13$。

陽性判定される確率 全確率の法則により $$\displaystyle \begin{aligned} P(+) &=P(+\mid D)P(D)+P(+\mid H)P(H)\\ &=\frac34\cdot\frac1{14}+\frac1{13}\cdot\frac{13}{14}\\ &=\frac3{56}+\frac4{56} =\boxed{\frac18}. \end{aligned}$$ したがって解答欄は $\text{ア}=1,\ \text{イ}=8$。

陽性判定時に非罹患である確率 ベイズの公式から $$\displaystyle \begin{aligned} P(H\mid +) &=\frac{P(+\mid H)P(H)}{P(+)}\\ &=\frac{\frac1{13}\cdot\frac{13}{14}}{\frac18} =\boxed{\frac47}. \end{aligned}$$ したがって解答欄は $\text{ウ}=4,\ \text{エ}=7$。両方とも既約分数である。

単元・方法・定理 単元：高校数学A「場合の数と確率」。 方法：事象を定め、全確率の法則で陽性確率を求め、ベイズの公式で事後確率を計算する。 定理・性質：全確率の法則、条件付き確率の定義、ベイズの公式。 テーマ：検査の陽性確率、有病率、偽陽性・偽陰性、条件付き確率。