3名古屋市立大学 2015年 数学 第3問解答・解説

各縦列の頂点を上から段数 $0,1,2,3$ とする。右斜め下へ進むと次の列では段数が1増える。段数0からは右斜め下へ必ず進む。段数1では、次の列の段数1、2へそれぞれ確率 $\displaystyle \frac12$ で移る。段数2または3から次の列へ進むときは、次の列の段数1、2、3へそれぞれ確率 $\displaystyle \frac14,\frac14,\frac12$ で移る。段数3ではまず上へ進むことが強制されるためである。また最終列では、段数0からは $A$ へ、段数1からは $A,B$ へ確率 $\displaystyle \frac12$ ずつ、段数2または3からは $A,B,C$ へ確率 $\displaystyle \frac14,\frac14,\frac12$ で到達する。　 (1) 出発点 $O$ は第1列の段数3にあり、まず上へ進む。その後、第1列から第2列へ移った時点で、段数1、2、3にいる確率はそれぞれ $\displaystyle \frac14,\frac14,\frac12$ である。したがって$$\displaystyle P_A=\frac14\cdot\frac12+\left(\frac14+\frac12\right)\cdot\frac14=\frac{5}{16},\qquad P_B=\frac14\cdot\frac12+\left(\frac14+\frac12\right)\cdot\frac14=\frac{5}{16},$$$$\displaystyle P_C=\left(\frac14+\frac12\right)\cdot\frac12=\frac38.$$　 (2) 第2列では段数1と2の確率がともに $1/4$ であり、列間の遷移でも両段への流入は等しいため、以後も両者の確率は等しい。第 $n$ 列で段数1と段数2にいるそれぞれの確率を $x_n$、段数3にいる確率を $y_n$ とおく。第2列では $\displaystyle x_2=\frac14, y_2=\frac12$。列間の移動規則から$$\displaystyle x_{n+1}=\frac34x_n+\frac14y_n,\qquad y_{n+1}=\frac12x_n+\frac12y_n.$$これより $\displaystyle y_3=\frac38$。図の $C_1$ は第3列の段数3の頂点であり、そこに着いた後は上への移動が強制される。そこから第4列を経て第5列へ進む間に、再び段数3となる確率は $\displaystyle \frac38$ である。第5列の段数3の頂点 $C_2$ に着いた後、同じ遷移を2列分行うと、第7列の段数1、2、3にいる確率は $\displaystyle \frac{5}{16},\frac{5}{16},\frac38$ となる。このうち $C$ へ進む確率は段数2、3からそれぞれ $\displaystyle \frac12$ なので、$$\displaystyle P(C\mid C_1,C_2)=\left(\frac{5}{16}+\frac38\right)\cdot\frac12=\frac{11}{32}.$$よって、求める確率は$$\displaystyle \frac38\cdot\frac38\cdot\frac{11}{32}=\frac{99}{2048}.$$　 (3) 上の漸化式を順に適用すると$$\displaystyle (x_2,y_2)=\left(\frac14,\frac12\right),\ (x_3,y_3)=\left(\frac5{16},\frac38\right),\ (x_4,y_4)=\left(\frac{21}{64},\frac{11}{32}\right),\ (x_5,y_5)=\left(\frac{85}{256},\frac{43}{128}\right),$$$$\displaystyle (x_6,y_6)=\left(\frac{341}{1024},\frac{171}{512}\right),\qquad (x_7,y_7)=\left(\frac{1365}{4096},\frac{683}{2048}\right).$$第7列の段数1から $B$ へ進む確率は $\displaystyle \frac12$、段数2、3からはそれぞれ $\displaystyle \frac14$ だから、$$\displaystyle P_B=\frac12x_7+\frac14(x_7+y_7)=\frac34\cdot\frac{1365}{4096}+\frac14\cdot\frac{683}{2048}=\frac{5461}{16384}.$$検算として第7列からの到達確率は $\displaystyle P_A=P_B=\frac{5461}{16384}$、$\displaystyle P_C=\frac12(x_7+y_7)=\frac{5462}{16384}$ となり、その和は1である。

各列で段数1・2の状態確率が等しいことを用いた二変数漸化式で遷移を集約し、列端の強制移動と最終到達確率を加味して求める。C₁、C₂経由は到達確率と条件付き終端確率の積で計算する。