3北海道大学 2016年 数学 第3問解答・解説

以下では、各メダルがその引き出しで許された色を独立に等確率でとると仮定する。この確率モデルは問題文に明記されていないため、以下の値はこの仮定の下での条件付き解答である。

(1) Aの3枚の色の並びは全部で $3^3=27$ 通り。ちょうど2色になるには、使う2色の選び方が $\displaystyle \binom{3}{2}=3$ 通りあり、選んだ2色をともに使う並びは $2^3-2=6$ 通り。よって確率は $3\cdot6/27=\boxed{2/3}$。

(2) 全割当ては $3^3\cdot2^2=108$ 通り。全体でちょうど2色になる色の組ごとに数える。

色が金・銀の場合、Aが金・銀をともに使う並びは $2^3-2=6$ 通りで、Bは任意の $2^2=4$ 通りなので24通り。加えて、Aが金だけなら1通りで、Bが銀を少なくとも1枚含む並びは3通り。Aが銀だけの場合も同様に3通り。したがって金・銀だけを使う割当ては $24+3+3=30$ 通り。

色が金・銅の場合、Bは金2枚に限られる。Aは金・銅だけからなり、銅を少なくとも1枚含めばよいので $2^3-1=7$ 通り。色が銀・銅の場合も対称性により7通り。よって有利な割当ては $30+7+7=44$ 通りで、確率は $44/108=\boxed{11/27}$。

(3) 全体で金が3枚となる割当てを数える。Aの金の枚数を $k$ とする。$k=1$ ならAの金の位置は3通り、残る2枚は銀・銅から各2通り、Bは金2枚なので12通り。$k=2$ ならAの金の位置3通り、残る1枚の色2通り、Bは金1枚・銀1枚の並び2通りなので12通り。$k=3$ ならAは金3枚、Bは銀2枚の1通り。したがって条件を満たす全割当ては $12+12+1=25$ 通り。

このうちAがちょうど2色となる割当ては、$k=1$ では非金の2枚が同色となるものが $3\cdot2=6$ 通り、$k=2$ ではAの残る1枚の色が2通り、Aの金の位置が3通り、Bの並びが2通りで12通り、$k=3$ では0通り。合計18通りなので、条件付き確率は $18/25=\boxed{18/25}$。