2北海道大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle C=\int_{-a}^{a}f(t)\sin t\,dt$ と置く。定義式の第1項をtで積分すると $e^{-x}$ なので $f(x)=e^{-x}+C$。これをCの式に戻し、$\displaystyle \int_{-a}^{a}\sin t\,dt=0$ を使うと $$\displaystyle C=\int_{-a}^{a}e^{-t}\sin t\,dt=\left[-\frac12e^{-t}(\sin t+\cos t)\right]_{-a}^{a}=\frac{(e^a-e^{-a})\cos a-(e^a+e^{-a})\sin a}{2}.$$ よってこれを $f(x)=e^{-x}+C$ に代入すれば(1)。また $g(a)=C$ であり、微分すると $g'(a)=-(e^a-e^{-a})\sin a$。$a>0$ で指数の差は正だから、$g$ は $0<a<\pi$ で減少し $\pi<a<2\pi$ で増加する。従って最小値は $$\displaystyle g(\pi)=-\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}2\quad(a=\pi).$$

積分方程式の積分定数Cを置いて f=e^(−x)+C とし、対称区間でCを決定。導関数の符号変化から開閉区間の端点を含めた最小値を判定。