5北海道大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1) $\ell$ 上の点は $A+\lambda(0,1,1)=(0,\lambda,2+\lambda)$、$m$ 上の点は $C+\mu(0,0,1)=(1,0,\mu)$。垂線の足では方向ベクトルとの内積が0だから $$\displaystyle \lambda=\frac{(P-A)\cdot(0,1,1)}{2}=\frac{t+a-2}{2},\qquad \mu=(P-C)\cdot(0,0,1)=a.$$ 従って $Q=(0,(t+a-2)/2,(t+a+2)/2)$、$R=(1,0,a)$。

(2) 射影点までの距離の二乗は $$\displaystyle PQ^2=s^2+\frac{(t-a+2)^2}{2},\qquad PR^2=(s-1)^2+t^2.$$ 中心 $P$ の球面が2直線に接する必要十分条件は $PQ=PR$。$P$ はいずれの直線上にもないため距離は正であり、等距離ならその値を半径とする球面が存在する。よって $$PQ^2=PR^2\text{であるための必要十分条件は} (t-a+2)^2-2t^2+4s-2=0.$$

(3) $c=a-2$ とおくと $$\displaystyle (t+c)^2=4\left(s-\frac{1-c^2}{2}\right).$$ これは頂点 $(h,k)=((1-c^2)/2,-c)$、$p=1$ の放物線である。従って焦点は $(h+1,k)=((3-c^2)/2,2-a)$、準線は $s=h-1=-(1+c^2)/2$。