8秋田大学 2016年 数学 第8問解答・解説

(i) $P=(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおく。接線方向ベクトルは $P'=(-a\sin\theta,b\cos\theta)$ であるから、これに垂直な法線方向ベクトルとして $\mathbf n=(b\cos\theta,a\sin\theta)$ をとれる。その長さを $$q=\|\mathbf n\|=\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}$$ とする。この向きは楕円の外向きであり、条件を満たす円の中心 $Q$ は $P$ からこの方向へ距離 $r(\theta)$ だけ進んだ点である。したがって $$\displaystyle \boxed{Q=\left(a\cos\theta+\frac{b r(\theta)\cos\theta}{q},\quad b\sin\theta+\frac{a r(\theta)\sin\theta}{q}\right)}, \qquad q=\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}.$$

(ii) $s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおくと、$a=2\sqrt3b$ より法線の長さは $$q=\sqrt{b^2c^2+12b^2s^2}=b\sqrt{1+11s^2}.$$ $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ では、外向き法線射線が正方形の右辺 $x=d$ に達するまでの距離と上辺 $y=d$ に達するまでの距離はそれぞれ $$\displaystyle \rho_x=\frac{(d-ac)q}{bc},\qquad \rho_y=\frac{(d-bs)q}{as}.$$ 最初に達する辺を選ぶ。$\displaystyle d=\frac{11}{2}b$ を代入すると $$\rho_x\le\rho_y \text{であるための必要十分条件は} 2\sqrt3s-c\le2sc.$$ $u=\sqrt3\tan\theta$ とおけば右辺は $\displaystyle 2u-1\le\frac{2u}{\sqrt{u^2+3}}$ と同値である。$\displaystyle 0\le u\le\frac12$ では左辺が0以下、右辺が0以上なので成り立つ。$\displaystyle u>\frac12$ では両辺が正なので二乗でき、 $$(2u-1)^2(u^2+3)-4u^2=(u-1)(4u^3+9u-3).$$ $\displaystyle u>\frac12$ なら $4u^3+9u-3>0$ であるから、この不等式は $u\le1$、すなわち $\displaystyle \theta\le\frac{\pi}{6}$ のときに成り立つ。よって $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{6}$ では右辺に達し、$\displaystyle \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ では上辺に達する。

右辺に達する場合は $\displaystyle d=ac+\frac{rbc}{q}$、上辺に達する場合は $\displaystyle d=bs+\frac{ras}{q}$ だから、 $$\displaystyle \boxed{ r(\theta)=\begin{cases} \displaystyle \frac b2(11\sec\theta-4\sqrt3)\sqrt{1+11\sin^2\theta},&0\le\theta\le\frac{\pi}{6},\\[4pt] \displaystyle \frac{b(11-2\sin\theta)}{4\sqrt3\sin\theta}\sqrt{1+11\sin^2\theta},&\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{2}. \end{cases}}$$

(iii) $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{6}$ では、$\displaystyle \frac{11}{2}\sec\theta-2\sqrt3$ は正で増加し、$\sqrt{1+11\sin^2\theta}$ も増加するので、$r(\theta)$ は増加する。その最大値は $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ で $$\displaystyle r\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac b2\left(\frac{22}{\sqrt3}-4\sqrt3\right)\frac{\sqrt{15}}2=\frac{5\sqrt5}{2}b.$$

一方、$\displaystyle \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ では $s=\sin\theta$ とおくと $\displaystyle \frac12\le s\le1$ であり $$\displaystyle \frac{r(\theta)^2}{b^2}=\frac{(11-2s)^2(1+11s^2)}{48s^2}.$$ このとき $$\displaystyle \frac{125}{4}-\frac{r(\theta)^2}{b^2} =\frac{(2s-1)(-22s^3+231s^2+198s+121)}{48s^2}\ge0,$$ なぜなら $2s-1\ge0$ であり、$-22s^3+231s^2+198s+121=s^2(231-22s)+198s+121>0$ だからである。従ってこの区間でも $\displaystyle r(\theta)\le\frac{5\sqrt5}{2}b$、等号は $\displaystyle s=\frac12$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ で成立する。よって $$\displaystyle \boxed{\max\limits _{0\le\theta\le\pi/2}r(\theta)=\frac{5\sqrt5}{2}b}.$$

楕円の法線を用いて、中心をPから単位法線方向にrだけ進んだ点として表す。第1象限では、その方向にPから正方形の右辺と上辺まで進む距離を比較する。達する辺はθ=π/6で切り替わる。前半の増加と、後半で因数分解した差が0以上であることから最大値を示す。