3秋田大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(i) 対数の定義域より $x>2$ である。この範囲で対数の性質を用いると $$f(x)=0\text{すなわち} \log_2\bigl((x+1)(x-2)\bigr)=2\text{すなわち} (x+1)(x-2)=4.$$ よって $x^2-x-6=0$，すなわち $(x-3)(x+2)=0$ である。定義域を満たす解は $x=3$ のみ。

(ii) $x(x-2)$ の符号は $x\le0$ または $x\ge2$ で非負，$0\le x\le2$ で非正である。したがって $$g(x)=|x(x-2)|=\begin{cases}x^2-2x,&x\le0\text{ または }x\ge2,\\-x^2+2x=1-(x-1)^2,&0\le x\le2.\end{cases}$$ グラフは $(0,0)$ と $(2,0)$ を通り，$0\leq x\leq2$ の範囲では頂点 $(1,1)$ をもつ上に凸の弧である。$x\le0$ と $x\ge2$ では上に開く放物線 $y=x^2-2x$ の左右の部分となり，それぞれ $x\to-\infty$ と $x\to\infty$ で $g(x)\to\infty$。

(iii) (i)より $a=3$。$-1\leq x\leq3$ の範囲で $g(x)\ge0$ だから，面積は $x=0,2$ で分けて $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-1}^0(x^2-2x)\,dx+\int_0^2(-x^2+2x)\,dx+\int_2^3(x^2-2x)\,dx\\ &=\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-1}^0+\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2+\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_2^3\\ &=\frac43+\frac43+\frac43=4. \end{aligned}$$