4弘前大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle g(x)=x\cos\frac{\pi x}{2}$ とおくと、与えられた式は $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)$$ である。$g$ は $0\leq x\leq1$ の範囲で連続であり、$g(0)=g(1)=0$ なので、区分求積法を用いることができる。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum\limits _{k=1}^{n-1}k\cos\frac{k\pi}{2n} =\int_0^1x\cos\frac{\pi x}{2}\,dx.$$ 部分積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1x\cos\frac{\pi x}{2}\,dx &=\left[\frac{2x}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}\right]_0^1-\frac2\pi\int_0^1\sin\frac{\pi x}{2}\,dx\\ &=\frac2\pi-\frac4{\pi^2}. \end{aligned}$$

(2) $q(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$ とおく。

(i) $f(x)=0$ は $\log|q(x)|=0$、すなわち $|q(x)|=1$ と同値である。したがって $$\begin{aligned} q(x)=1&\text{すなわち} (x-1)^2=3\text{すなわち} x=1\pm\sqrt3,\\ q(x)=-1&\text{すなわち} x(x-2)=0\text{すなわち} x=0,2. \end{aligned}$$ よって解は $x=1-\sqrt3,0,2,1+\sqrt3$ である。

(ii) $f(x)$ が定義される条件は $q(x)\ne0$、すなわち $$x\ne a,\ x\ne b\quad(x\text{ は実数}),\qquad a=1-\sqrt2,\quad b=1+\sqrt2$$ である。定義域上で $$\displaystyle f'(x)=\frac{q'(x)}{q(x)}=\frac{2(x-1)}{(x-1)^2-2}.$$ $q(x)>0$ は $x<a$ または $x>b$、$q(x)<0$ は $a<x<b$ である。分子・分母の符号を合わせると $$\begin{array}{c|cccc} x&x<a&a<x<1&1<x<b&x>b\\ \hline f'(x)&-&+&-&+\\ f&\text{減少}&\text{増加}&\text{減少}&\text{増加} \end{array}$$ となる。$x=1$ で $f(1)=\log2$ であり、増加から減少に変わるのでここで極大値 $\log2$ をとる。極小値はない。

$x$ 軸との交点は(i)より $$(1-\sqrt3,0),\quad(0,0),\quad(2,0),\quad(1+\sqrt3,0).$$ その位置関係は $$1-\sqrt3<a<0<1<2<b<1+\sqrt3$$ である。$x\to a\pm$ または $x\to b\pm$ では $|q(x)|\to0^+$ なので $f(x)\to-\infty$。したがって垂直漸近線は $x=a,b$ である。

十分大きい $|x|$ では $$\displaystyle f(x)=2\log|x|+\log\left(1-\frac2x-\frac1{x^2}\right)\to+\infty, \qquad \frac{f(x)}x\to0.$$ 水平漸近線があれば $f(x)$ は有限値に収束するが、実際は両端で $+\infty$ となる。斜漸近線 $y=mx+c$ があれば $f(x)/x\to m$ より $m=0$ となり水平線の場合に帰着するので、水平・斜漸近線はない。

したがって概形は、左の枝が $x\to-\infty$ で $+\infty$ から減少して $x=1-\sqrt3$ を通り、$x\to a-$ で $-\infty$ となる。中央の枝は $x\to a+$ で $-\infty$ から増加し、$(0,0)$、$(1,\log2)$ を通って極大となり、減少して $(2,0)$ を通り、$x\to b-$ で $-\infty$ となる。右の枝は $x\to b+$ で $-\infty$ から増加して $x=1+\sqrt3$ を通り、$x\to+\infty$ で $+\infty$ となる。